Question

【題目】如圖，過正方形ABCD頂點(diǎn)B，C的⊙O與AD相切于點(diǎn)P，與AB，CD分別相交于點(diǎn)E、F，連接EF．

（1）求證：PF平分∠BFD．

（2）若tan∠FBC=，DF=，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OP⊥AD，由四邊形ABCD的正方形，得到CD⊥AD，推出OP∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠PFD=∠OPF，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠OPF=∠OFP，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論；（2）由∠C=90°，得到BF是⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理得到∠BEF=90°，推出四邊形BCFE是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到EF=BC，根據(jù)切割線定理得到PD2=DFCD，于是得到結(jié)論．

試題解析：（1）連接OP，BF，PF，

∵⊙O與AD相切于點(diǎn)P，

∴OP⊥AD，

∵四邊形ABCD的正方形，

∴CD⊥AD，

∴OP∥CD，

∴∠PFD=∠OPF，

∵OP=OF，

∴∠OPF=∠OFP，

∴∠OFP=∠PFD，

∴PF平分∠BFD；

（2）連接EF，

∵∠C=90°，

∴BF是⊙O的直徑，

∴∠BEF=90°，

∴四邊形BCFE是矩形，

∴EF=BC，

∵AB∥OP∥CD，BO=FO，

∴OP=AD=CD，

∵PD2=DFCD，即（）2=CD，

∴CD=4，

∴EF=BC=4．