Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c中，當(dāng)x=-1時(shí)，y有最大值4，二次函數(shù)圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，且x₁²+x₂²=8，求此二次函數(shù)的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：根據(jù)y=ax²+bx+c可以得出-

b

2a

=-1，

4ac-b2

4a

=4，由x₁、x₂為二次函數(shù)圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，將x₁²+x₂²=8變形建立方程求出其解即可．

解答：解：∵y=ax²+bx+c，
∴y=a（x+-

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

．
∵x=-1時(shí)，y有最大值4．
∴-

b

2a

=-1，

4ac-b2

4a

=4．
∵x₁、x₂為二次函數(shù)圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，
∵x₁²+x₂²=8，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=8，
∴

b2

a2

-

2c

a

=8，
∴b²-2ac=8a²．

- b 2a =-1 4ac-b2 4a =4 b2-2ac=8a2

，
解得：

a= 4 3 b= 8 3 c= 16 3

．
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=

4

3

x²+

8

3

x+

16

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，根與系數(shù)的關(guān)系的運(yùn)用，三元一次方程組的解法的運(yùn)用，解答時(shí)建立三元一次方程組是關(guān)鍵．