Question

在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=8cm，BC=10cm，現(xiàn)將長(zhǎng)方形ABCD向右平移xcm，再向下平移（x+1）cm后到長(zhǎng)方形A′B′C′D′的位置，
（1）如圖，用x的代數(shù)式表示長(zhǎng)方形ABCD與長(zhǎng)方形A′B′C′D′的重疊部分的面積，這時(shí)x應(yīng)滿(mǎn)足怎樣的條件？
（2）如圖，用x的代數(shù)式表示六邊形ABB′C′D′D（陰影部分）的面積；
（3）當(dāng)這兩個(gè)長(zhǎng)方形沒(méi)有重疊部分時(shí)，第（2）小題的結(jié)論是否改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）表示出重疊部分的長(zhǎng)與寬，然后根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式列式整理即可，根據(jù)重疊部分的寬為正數(shù)求x的取值范圍；
（2）方法一：利用平移前后的長(zhǎng)方形的面積的和加上兩個(gè)正方形的面積，然后再減去重疊部分的面積列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；
方法二：利用六邊形所在的長(zhǎng)方形的面積減去兩個(gè)小直角三角形的面積，根據(jù)面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
（3）當(dāng)這兩個(gè)長(zhǎng)方形沒(méi)有重疊部分時(shí)，第（2）小題的結(jié)論不改變，延長(zhǎng)AD、C′D′交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)AB、C′B′交于點(diǎn)N，
利用S_{ABB′C′D′D}=S_ANC′M-2S_BNB′求出即可．

解答：解：（1）∵AB=8cm，BC=10cm，
∴重疊部分的長(zhǎng)為（10-x），寬為[8-（x+1）]，
∴重疊部分的面積=（10-x）[8-（x+1）]=（10-x）（7-x）=70-10x-7x+x²，
=x²-17x+70（cm²），
∵8-（x+1）＞0，
解得x＜7，
∴x應(yīng)滿(mǎn)足的條件是：0≤x＜7；

（2）方法一：S=10×8×2+

1

2

x（x+1）×2-（x²-17x+70），
=160+x²+x-x²+17x-70，
=18x+90（cm²）（0≤x＜7）；
方法二：S=（10+x）（8+x+1）-

1

2

x（x+1）×2，
=（10+x）（9+x）-x²-x，
=90+19x+x²-x²-x，
=18x+90（cm²）（0≤x＜7）．

（3）當(dāng)這兩個(gè)長(zhǎng)方形沒(méi)有重疊部分時(shí)，第（2）小題的結(jié)論不改變．
延長(zhǎng)AD、C′D′交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)AB、C′B′交于點(diǎn)N，
S_{ABB′C′D′D}=S_ANC′M-2S_BNB′=（10+x）（9+x）-2×

1

2

x（x+1）=（18x+90）（cm²）．
故當(dāng)這兩個(gè)長(zhǎng)方形沒(méi)有重疊部分時(shí)，第（2）小題的結(jié)論不改變．
[如果第（2）題用此方法解，只須說(shuō)明解題方法相同；如果用面積圖形分割方法解，需分兩種情況說(shuō)明．]

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平移的性質(zhì)，整式的混合運(yùn)算，認(rèn)準(zhǔn)圖形，準(zhǔn)確列出所求部分的面積是解題的關(guān)鍵．