Question

【題目】如圖所示， △ABC是直角三角形，∠A=90°，D是斜邊BC的中點，E，F分別是AB，AC邊上的動點,且DE⊥DF．

(1)如圖(1)，連接AD，若AB=AC=17，CF=5，求線段EF的長．

(2)如圖(2)，若AB≠AC，寫出線段EF與線段BE，CF之間的等量關(guān)系，并寫出證明過程．

Answer 1

【答案】（1）13；（2）EF2=BE2+CF2，證明過程見解析

【解析】

（1）由△ABC是等腰直角三角形，AD是斜邊的中線，可得：∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD＝DC，AD⊥BC，又DE⊥DF，根據(jù)同角的余角相等可得∠EDA＝∠CDF，從而可證：△AED≌△CFD，所以可得AE＝CF，然后由勾股定理可得出答案；

（2）延長ED到P，使DP＝DE，連接FP，CP，利用SAS得到△BED≌△CPD，利用全等三角形的性質(zhì)得到BE＝CP，∠B=∠DCP，然后根據(jù)三線合一的性質(zhì)得到EF=FP，然后求出∠FCP為直角，在直角三角形FCP中，利用勾股定理列出關(guān)系式，等量代換即可得證．

（1）∵在Rt△ABC中，AB=AC，AD為BC邊的中線，

∴∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=DC，

又∵DE⊥DF，AD⊥DC，

∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠FDA=90°，

∴∠EDA=∠CDF，

在△AED與△CFD中，，

∴△AED≌△CFD（ASA），

∴AE=CF，

∵AB=AC=17，CF=5，

∴AE=CF=5，AF=17-5=12，

在Rt△EAF中，由勾股定理得：；

（2）EF2=BE2+CF2；

如圖，延長ED到P，使DP=DE，連接FP，CP，

在△BED和△CPD中，，

∴△BED≌△CPD（SAS），

∴BE=CP，∠B=∠DCP，

∵DE⊥DF，DP=DE

∴EF=FP，

∵∠B=∠DCP，∠A=90°，

∴∠B+∠ACB=90°，

∴∠ACB+∠DCP=90°，即∠FCP=90°，

在Rt△FCP中，根據(jù)勾股定理得：CF2+CP2=PF2，

∵BE=CP，PF=EF，

∴EF2=BE2+CF2．