Question

（2010•南安市質檢）如圖，已知點A在雙曲線y=上，且OA=4，過A作AC⊥x軸于C，OA的垂直平分線交OC于B，則△AOC的面積=    ；△ABC的周長為    ．

Answer 1

【答案】分析：首先由反比例函數比例系數k的幾何意義，直接得出△AOC的面積=|k|=3；
如果設A（x，y），那么由線段垂直平分線的性質可知AB=OB，則△ABC的周長=OC+AC=x+y．由點A在雙曲線y=上，且OA=4，可列出方程組，運用完全平方公式將方程組變形，求出x+y的值，從而得出結果．
解答：解：∵點A在雙曲線y=上，過A作AC⊥x軸于C，
∴△AOC的面積=|k|=3；
設點A的坐標為（x，y）．
∵點A在第一象限，
∴x＞0，y＞0．
∵OA的垂直平分線交OC于B，
∴AB=OB，
∴△ABC的周長=AB+BC+AC=OB+BC+AC=OC+AC=x+y．
∵點A在雙曲線y=上，且OA=4，
∴
由①得，xy=6③，
③×2+②，得x²+2xy+y²=28，
∴（x+y）²=28，
∵x＞0，y＞0，
∴x+y=2．
∴△ABC的周長=2．
故答案為：3，2．
點評：此題綜合考查了反比例函數的性質，線段垂直平分線的性質，完全平方公式等多個知識點．此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應用．