Question

已知A、B、C是半徑為2的圓O上的三個點，其中點A是弧BC的中點，連接AB、AC，點D、E分別在弦AB、AC上，且滿足AD=CE．
（1）求證：OD=OE．
（2）連接BC，當BC=2

2

時，求∠DOE的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）首先連接OA，由點A是弧BC的中點，易證得△AOD≌△COE，即可證得OD=OE；
（2）設連接BC交OA于點F，易得OF=BF，即可得∠AOB=45°，又由△AOD≌△COE，可得∠AOD=∠COE，繼而可得∠DOE=∠AOB=45°．

解答：（1）證明：連接OA，
∵點A是弧BC的中點，
∴∠AOB=∠AOC，
∵OA=OB=OC，
∴∠ABO=∠BAO=∠CAO=∠ACO，
在△AOD和△COE中，

OA=OC ∠BAO=∠ACO AD=CE

，
∴△AOD≌△COE（SAS），
∴OD=OE；
（2）解：連接BC交OA于點F，
∵點A是弧BC的中點，
∴OA⊥BC，BF=

1

2

BC=

1

2

×2

2

=

2

，
在Rt△BFO中，OF=

OB2-BF2

=

2

，
∴BF=OF，
∴∠AOB=45°，
∵△AOD≌△COE，
∴∠AOD=∠COE，
∴∠BOD=∠AOE，
∴∠DOE=∠AOB=45°．

點評：此題考查了圓周角定理、弧與弦的關系、垂徑定理以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．