Question

10．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，AD與⊙O相切于點(diǎn)A，射線AO交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，點(diǎn)G在射線AF上，且∠GCB=2∠BAF．
（1）求證：直線GC是⊙O的切線；
（2）若AB=2$\sqrt{5}$，AD=4，求線段GC的長．

Answer 1

分析 （1）首先連接OC，由AD與⊙O相切，可得FA⊥AD，四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，然后由垂徑定理可證得F是$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠GCB=2∠BAF，即可求得∴∠GCB+∠OCE=90°，繼而證得直線GC是⊙O的切線；
（2）首先由勾股定理可求得AE的長，然后設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，OE=3-r，則可求得半徑長，易得△OCE∽△CGE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得線段GC的長．

解答 （1）證明：連結(jié)OC
∵AD與⊙O相切于點(diǎn)AAF為⊙O直徑，
∴AF⊥AD，
又∵四邊形ABCD平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴AF⊥BC，
∴∠OEC=90°，BE=CE，$\widehat{CF}$=$\widehat{BF}$，
∴∠COE=2∠BAF，
∵∠GCB=2∠BAF，
∴∠COE=∠GCB，
∵∠COE+∠OCE=90°，
∴∠GCB+∠OCE=90°，即∠OCG=90°，
∴OC⊥CG，
又∵OC為半徑，
∴GC為⊙O的切線；
（2）∵AD=4，
∴BC=4，
∴BE=2，
在RT△ABE中，AE=$\sqrt{（2-\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=4，
設(shè)⊙O的半徑為r，則在RT△OCE中，OC²=OE²+CE²，
∴r²=（4-r）²+2²，解得r=$\frac{5}{2}$，
∴OE=4-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，
又∵∠COE=∠GCB，∠OEC=∠GEC=90°
∴△OCE∽△CGE，
∴$\frac{OC}{CG}$=$\frac{OE}{BE}$，即$\frac{\frac{5}{2}}{CG}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2}$．
∴CG=$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評 此題考查了切線的判定、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．