Question

5．如圖，在⊙O中，D、E分別是半徑OA、OB的中點，C是⊙O上一點，CD=CE．
（1）求證：$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$；
（2）若∠AOB=120°，CD=2$\sqrt{3}$，求半徑OA的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由SSS證明△OCD≌△OCE，得出對應(yīng)角相等∠COD=∠COE，由圓心角，弧，弦的關(guān)系即可得出結(jié)論；
（2）連接AC，證明△AOC是等邊三角形，得出CD⊥OA，由三角函數(shù)求出OC，即可得出OA．

解答 解：（1）證明：連接OC，如圖1所示：
∵D、E分別是半徑OA、OB的中點，OA=OB，
∴OD=OE，
在△OCD和△OCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OE}&{\;}\\{CD=CE}&{\;}\\{OC=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠COD=∠COE，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$；
（2）連接AC，如圖2所示：
∵∠AOB=120°，
∴∠COD=∠COE=60°，
∵OC=OA，
∴△AOC是等邊三角形，
∵D是OA的中點，
∴CD⊥OA，
∴OC=$\frac{CD}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴OA=4．

點評 本題考查的是圓心角，弧，弦的關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)；證明三角形全等和等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．