Question

設(shè)A₀，A₁，…，A_n-1依次是面積為整數(shù)的正n邊形的n個頂點，考慮由連續(xù)的若干個頂點連成的凸多邊形的面積之和是231，那么n的最大值是

23

，此時正n邊形的面積是

1

．

Answer 1

分析：先通過找規(guī)律找出P與n的關(guān)系式P=

1

2

n²-

3

2

n+1，再化為P=

1

2

（n-

3

2

）²+

1

8

，由于n≥3，故P值越大，n取值越大． 在凸多邊形面積之和為231時，由于正n邊形的面積為整數(shù)，故其面積取最小值1時，P值最大，從而得出關(guān)于n的方程求解即可．

解答：解：用找規(guī)律找出P與n的關(guān)系式
不難發(fā)現(xiàn)，P與n有下表所列的關(guān)系

n	3	4	5	6
P	1 （0+1）=（3-3）×3÷2+1	3 （2+1）=（4-3）×4÷2+1	6 （5+1）=（5-3）×5÷2+1	10 （6+3+1）=（6-3）×6÷2+1

因此，P=（n-3）•n÷2+1，即P=

1

2

n²-

3

2

n+1．
P=

1

2

n²-

3

2

n+1可以化為P=

1

2

（n-

3

2

）²+

1

8

，
由于n≥3，故P值越大，n取值越大．
在凸多邊形面積之和為231時，由于正n邊形的面積為整數(shù)，
故其面積取最小值1時，P值最大
代入各值，得：231÷1=

1

2

n²-

3

2

n+1，
整理得：n²-3n-460=0
解得n=23或n=-20（不合題意，舍去）
故n=23為最大值，此時正23邊形的面積為1．
故答案為：23，1．

點評：本題考查了正多邊形和圓以及面積及等積變換．解題的關(guān)鍵是得出P與n的關(guān)系式，確定面積取最小值1時，P值最大．