Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，AB=4，BC=12，點(diǎn)E在邊BA的延長(zhǎng)線上，AE=2，點(diǎn)F在BC邊上，EF與邊AD相交于點(diǎn)G，DF⊥EF，設(shè)AG=x，DF=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（2）當(dāng)AD=11時(shí)，求AG的長(zhǎng)；
（3）如果半徑為EG的⊙E與半徑為FD的⊙F相切，求這兩個(gè)圓的半徑．

Answer 1

解：（1）∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠EAG=∠B=90°，
∴EG==，
∵=，
∴FG===，
∵∠DFG=∠EAG=90°，∠EGA=∠DGF，△DFG∽△EAG，
∴=，
∴=，
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=，定義域?yàn)?＜x≤4．

（2）∵△DFG∽△EAG，
∴=，
∴=，
∴GD=．
當(dāng)AD=11時(shí)，x+=11，x₁=1，x₂=，
經(jīng)檢驗(yàn)它們都是原方程的根，且符合題意，所以AG的長(zhǎng)為1或．

（3）當(dāng)⊙E與⊙F外切時(shí)，EF=EG+FD=EG+FG，
∴FD=FG，
∵△DFG∽△EAG，
∴∠E=∠AGE=∠FGD=∠GDF．
∴AG=AE=2；
∴⊙E的半徑EG=，⊙F的半徑FD=．
當(dāng)⊙E與⊙F內(nèi)切時(shí)，EF=FD-EG，
∴3=-，
∵≠0，
∴3=，
∴x=1，
∴⊙E的半徑EG==，⊙F的半徑FD=，
∴⊙E的半徑為2，⊙F的半徑為4；或⊙E的半徑為，⊙F的半徑為4．
分析：（1）先根據(jù)AD∥BC，∠B=90°求出∠EAG=∠B=90°，在Rt△AEG中根據(jù)勾股定理可用x表示出EG的值，再根據(jù)平行線分線段成比例可得出=，進(jìn)而可得到關(guān)于x、y的關(guān)系式，由二次根式有意義的條件求出x的取值范圍即可；
（2）由△DFG∽△EAG可得到=，可用x表示出GD的值，再把AD=11代入即可求出x的值，進(jìn)而得出AG的長(zhǎng)；
（3）①當(dāng)⊙E與⊙F外切時(shí)，EF=EG+FD=EG+FG，再由△DFG∽△EAG即可求出AG=AE=2，進(jìn)而可得出⊙E與⊙F的半徑；
②當(dāng)⊙E與⊙F內(nèi)切時(shí)，EF=FD-EG，再把EF、FD及ED的關(guān)系式代入即可求出x的值，由勾股定理即可求出兩圓的半徑．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及兩圓相切的性質(zhì)，涉及面較廣，難度較大，在解（3）時(shí)要注意分兩圓外切與內(nèi)切兩種情況進(jìn)行討論．