Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝8，CD＝6，BC ＝4，AB邊上有一動點(diǎn)P(不與A、B重合)，連結(jié)DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射線BC于點(diǎn)E，設(shè)AP＝x．

(1)當(dāng)x為何值時(shí)，△APD是等腰三角形？

(2)若設(shè)BE＝y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)若BC的長可以變化，在現(xiàn)在的條件下，是否存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C？若存在，求出相應(yīng)的AP的長；若不存在，請說明理由，并直接寫出當(dāng)BC的長在什么范圍內(nèi)時(shí)，可以存在這樣的點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：過D點(diǎn)作DH⊥AB于H， 　　則四邊形DHBC為矩形， 　　∴DH＝BC＝4，HB＝CD＝6 　　∴AH＝2，AD＝2· 　　∵AP＝x，∴PH＝x－2， 　　情況①：當(dāng)AP＝AD時(shí)，即x＝2． 　　情況②：當(dāng)AD＝PD時(shí)，則AH＝PH 　　∴2＝x－2，解得x＝4 　　情況③：當(dāng)AP＝PD時(shí)， 　　則Rt△DPH中，x2＝42＋(x－2)2，解得x＝5·· 　　∵2＜x＜8， 　　∴當(dāng)x為2、4、5時(shí)，△APD是等腰三角形··· 　　(2)易證：△DPH∽△PEB 　　∴，∴ 　　整理得：y＝(x－2)(8－x)＝－x2＋x－4·· 　　(3)若存在，則此時(shí)BE＝BC＝4， 　　即y＝－x2＋x－4＝4，整理得：x2－10x＋32＝0 　　∵△＝(－10)2－4×32＜0， 　　∴原方程無解， 　　∴不存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C··· 　　當(dāng)BC滿足0＜BC≤3時(shí)，存在點(diǎn)P， 　　使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C