Question

20．如圖1，△ABC與△DCE均為等腰直角三角形，DC與AB交于點M，CE與AB交于點N．
（1）以點C為中心，將△ACM逆時針旋轉90°，畫出旋轉后的△A'CM'
（2）在（1）的基礎上，證明AM²+BN²=MN²．
（3）如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD=45°，∠BCD=90°，AC平分∠BCD，若BC=4，CD=3，則對角線AC的長度為多少？（直接寫出結果即可）

Answer 1

分析 （1）根據旋轉的性質畫出圖形即可；
（2）連接M'N，利用等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定和性質進行解答即可；
（3）將△ADC順時針旋轉90°到△AC'D'，連接C′C，利用等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定和性質進行解答．

解答 解：（1）旋轉后的△A'CM'如圖1所示：

（2）連接M'N，
∵△ABC與△DCE為等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠A=∠CBA=45°，∠ACM+∠BCN=45°，
∵△BCM'是由△ACM旋轉得到的，
∴∠BCM'=∠ACM，CM=CM'，AM=BM'，∠CBM'=∠A=45°，
∴∠M'CN=∠MCN=45°，∠NBM'=90°，
∵CN=CN，
在△MCN與△M'CN中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CM′}\\{∠MCN=∠M′CN}\\{CN=CN}\end{array}\right.$，
∴△MCN≌△M'CN（SAS），
∴MN=M'N，
在RT△BM'N中，根據勾股定理得：M'N²=BN²+BM'²，
∴MN²=AM²+BN²；
（3）如圖2，將△ADC順時針旋轉90°到△AC'D'，連接C'C，

則△AC'C是等腰直角三角形，C'D=3，
∵∠C'=∠ACB=45°，
∴C'，D'，B，C均在同一直線上，
在△DAB與△D'AB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD′}\\{∠D′AB=∠DAB}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△D'AB（SAS），
∴DB=D'B，
在RT△BCD'中，
∵BC=4，CD=3，
∴DB=5，
∴CC'=12，
∴AC=6$\sqrt{2}$．

點評 此題考查幾何變換問題，關鍵是根據旋轉的性質和等腰直角三角形的性質以及全等三角形的判定和性質解答．