Question

10．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖）中，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）與點(diǎn)C（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P為OB上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作射線AP的垂線，垂足為點(diǎn)D，射線BD交x軸于點(diǎn)E．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）連結(jié)BC，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{2}{3}$）時，求△EBC的面積；
（3）當(dāng)點(diǎn)D落在拋物線的對稱軸上時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將A、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，得到關(guān)于b、c的二元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（2）由∠APO、∠AED均勻∠PAO互余得出∠APO=∠AED，再結(jié)合∠AOP=∠BOE=90°可得出△AOP∽△BOE，由相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{OE}{OP}=\frac{OB}{OA}$，代入數(shù)據(jù)可得出OE的長度，結(jié)合C點(diǎn)坐標(biāo)可得出CE長度，將CE、OB的長度代入三角形的面積公式，即可得出結(jié)論；
（3）令對稱軸與x軸的交點(diǎn)為H，過點(diǎn)B作BF⊥直線x=1于點(diǎn)F，先證△ADH∽△DBF，再由相似三角形的性質(zhì)找出$\frac{AH}{DF}=\frac{HD}{FB}$，設(shè)DH=a，由此可得出關(guān)于a的一元二次方程，解方程可求出a的值，再根據(jù)$\frac{OP}{HD}=\frac{AO}{AH}=\frac{1}{2}$可得出OP的長度，從而得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）將點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)C（3，0）的坐標(biāo)代入拋物線解析式，得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-1-b+c}\\{0=-9+3b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
故該拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
（2）∵BD⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∴∠PAO+∠APO=∠PAO+∠AED=90°，
∴∠APO=∠AED=∠BEO，
又∵∠AOP=∠BOE=90°，
∴△AOP∽△BOE，
∴$\frac{OE}{OP}=\frac{OB}{OA}$．
令x=0，y=3，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），
∵點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)C（3，0），點(diǎn)P（0，$\frac{2}{3}$），
∴OE=2，
∴CE=OC-OE=3-2=1．
S_△EBC=$\frac{1}{2}$CE•OB=$\frac{3}{2}$．
（3）拋物線對稱軸直線x=-$\frac{2}{-1}$=1，令對稱軸與x軸的交點(diǎn)為H，過點(diǎn)B作BF⊥直線x=1于點(diǎn)F，如圖所示．

∵DH⊥x軸，BF⊥FD，
∴∠AHD=∠DFB=90°，
∵∠BDF+∠BDA+∠ADH=180°，∠BDA=90°，∠BDF+∠DBF=90°，
∴∠ADH=∠DBF，
∴△ADH∽△DBF，
∴$\frac{AH}{DF}=\frac{HD}{FB}$．
設(shè)DH=a．
∵AH=2，DF=BO-DH=3-a，F(xiàn)B=1，
∴有$\frac{2}{3-a}=\frac{a}{1}$，
解得：a₁=1，a₂=2．
又∵$\frac{OP}{HD}=\frac{AO}{AH}=\frac{1}{2}$，
∴OP=$\frac{1}{2}$或1．
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）或（0，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定及性質(zhì)、解一元二次方程，解題的關(guān)鍵：（1）待定系數(shù)法求解析式的系數(shù)；（2）找出線段CE的長度；（3）由相似三角形的性質(zhì)找出關(guān)于a的一元二次方程．本題屬于中檔題，（1）難度不大；（2）（3）有點(diǎn)難度．解決該類問題，利用相似三角形的性質(zhì)找出比例關(guān)系，解方程即可得出結(jié)論．