Question

（2012•天河區(qū)一模）如圖（1），AB、BC、CD分別與⊙O相切于點(diǎn)E、F、G，且AB∥CD，若OB=6，OC=8，
（1）求BC和OF的長(zhǎng)；
（2）求證：E、O、G三點(diǎn)共線；
（3）小葉從第（1）小題的計(jì)算中發(fā)現(xiàn)：等式

1

OF2

=

1

OB2

+

1

OC2

成立，于是她得到這樣的結(jié)論：
如圖（2），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，設(shè)BC=a，AC=b，CD=h，則有等式

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

成立．請(qǐng)你判斷小葉的結(jié)論是否正確，若正確，請(qǐng)給予證明，若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得出BO，CO分別平分∠ABC，∠BCD，結(jié)合平行線的性質(zhì)可得出∠BOC=90°，利用勾股定理可求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)△BOC面積的兩種表達(dá)形式可求出OF；
（2）連接OE、OG，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠BEO=∠BFO=90°，∠BOE=∠BOF，∠COG=∠COF，然后得出∠EOG=180°即可得出結(jié)論；
（3）由tan∠CAB=

a

b

=

h

b2-h2

，然后將等式兩邊平方變形即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵AB，BC，CD分別與⊙O相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，
∴BO，CO分別平分∠ABC，∠BCD，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
又∵在Rt△BOC中，∠BOC=90°，OB=6，OC=8，
∴BC=

OB2+OC2

=10，
∴S△BOC=

1

2

BC•OF=

1

2

BO•CO，
即：10×OF=6×8，
解得：OF=4.8．
（2）連接OE，OG，

∵BO分別平分∠ABC，
∴∠EBO=∠FBO，
又∵AB，BC分別與⊙O相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，
∴∠BEO=∠BFO=90°，∠BOE=∠BOF，
同理：∠COG=∠COF，
∵∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠EOG=∠EOB+∠BOF+∠COF+∠COG=180°，
∴E，O，G三點(diǎn)共線．
（3）等式2成立．
理由如下：
∵tan∠CAB=

a

b

=

h

b2-h2

，
∴

a2

b2

=

h2

b2-h2

，
∴a²b²=（a²+b²）h²，
∴

a2b2

a2b2h2

=

(a2+b2)h2

a2b2h2

，
即可得：

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于圓的綜合題目，涉及了切線的性質(zhì)、三角函數(shù)及等式的變形，第二問(wèn)的關(guān)鍵是掌握三點(diǎn)一線需滿足的條件，第三問(wèn)的解答有一定技巧，可以通過(guò)靈活變形得出答案，也可以利用相似三角形的知識(shí)，分別表示出a²、b²、h²，從而得出結(jié)論．