Question

【題目】如圖，在菱形四邊形ABCD中，，，對角線AC、BD交于點O，點P為直線BD上的動點不與點B重合，連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉得到線段PE，連接CE、BE．

問題發(fā)現(xiàn)

如圖1，當點E在直線BD上時，線段BP與CE的數(shù)量關系為______；______

拓展探究

如圖2，當點P在線段BO延長線上時，的結論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；

問題解決

當時，請直接寫出線段AP的長度．

Answer 1

【答案】（1），（2）成立（3）AP的長為4或

【解析】

問題發(fā)現(xiàn)

連接AE，根據(jù)菱形的性質可得，，，根據(jù)線段垂直平分線的性質可得，由旋轉的性質可得是等邊三角形，可得，，根據(jù)三角形的外角的性質和等腰三角形的判定，可證，由菱形的性質可得，根據(jù)等邊三角形的性質和等腰三角形的性質可得，即可得；

拓展探究

由等邊三角形的性質可得，，，可得，根據(jù)“SAS”可證≌，可得，，即可得；

問題解決

分點E在AC左側，點E在AC右側兩種情況討論，根據(jù)直角三角形的性質和等邊三角形的性質以及勾股定理可求點P的坐標．

問題發(fā)現(xiàn),如圖，連接AE，

四邊形ABCD是菱形，，

，，，

垂直平分AC，

，

旋轉

，，

是等邊三角形

，

，

是等邊三角形，，

，

，

故答案為：，

拓展探究

結論仍然成立，

如圖，連接AE，

由可知：，都是等邊三角形，

，，

，且，，

≌

，

結論仍然成立；

問題解決

如圖，當點E在AC左側時，

，

，且

與AB重合，

，，

，

，

是等邊三角形

此時點P與點D重合

如圖，若點E在AC右側時，

，，

，

，

，，，

，，

，

，

在中，

是等邊三角形

綜上所述：AP的長為4或