Question

【問題】如圖17-1，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度數(shù)．
分析根據(jù)已知條件比較分散的特點(diǎn)，我們可以通過旋轉(zhuǎn)變換將分散的已知條件集中在一起，于是將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到了△BP′A（如圖17-2），然后連結(jié)PP′．
解決問題請你通過計(jì)算求出圖17-2中∠BPC的度數(shù)；
類比研究如圖17-3，若在正六邊形ABCDEF內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=，PB=4，PC=2.
（1）∠BPC的度數(shù)為       ；（2）直接寫出正六邊形ABCDEF的邊長為         ．

Answer 1

解：【解決問題】
根據(jù)【分析】中的思路，得到如圖6所示的圖形，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PB="P′B," PC=P′A,
又因?yàn)锽C="AB," ∴△PBC≌△P′BA，
∴∠PBC=∠P′BA ，∠BPC=∠BP′A , PB= P′B=，
∴∠P′BP=90°，所以△P′BP為等腰直角三角形，
則有P′P=2，∠BP′P=45°．                           ……………………2分
又因?yàn)镻C=P′A=1，P′P =2，PA=，
滿足P′A²+ P′P²= PA²，由勾股定理的逆定理可知∠AP′P=90°，  ……………4分
因此∠BPC=∠BP′A=45°+90°=135°．                  ……………………6分
【類比研究】（1）120°；                             ……………………8分
（2）．                            ……………………10分
參考提示：
（1）仿照【分析】中的思路，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到了△BP′A，然后連結(jié)PP′．如圖7所示，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△PBC≌△P′BA，

△BPP′為等腰三角形，PB= P′B=4，PC=P′A=2，∠BPC=∠BP′A，
∵∠ABC=120°，∴∠PBP′=120°，∠BP′P=30°，
∴求得PP′=，
在△APP′中，∵PA=，PP′=，P′A=2，
滿足P′A²+ P′P²= PA²，所以∠AP′P=90°．
∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°．
（2）延長A P′ 做BG⊥AP′于點(diǎn)G，如圖8所示，

在Rt△P′BG中，P′B=4，∠BP′G=60°，
所以P′G=2，BG=，則AG=" P′G" +P′A =2+2=4，
故在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理得AB=．  解析:
將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到了△BP′A，然后連結(jié)PP′．如圖7所示，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△PBC≌△P′BA，后根據(jù)勾股定理得出∠AP′P=90°，從而得出∠BPC=120°；延長A P′ 做BG⊥AP′，構(gòu)建直角三角形，也是由勾股定理得出AB=。