Question

如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為
（12，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，4），動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿y軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度移動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)D移動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，E、F兩點(diǎn)同時(shí)停止移動(dòng)．設(shè)點(diǎn)E移動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求當(dāng)t為何值時(shí)，三點(diǎn)C、E、F在同一直線上；
（2）設(shè)順次連接OCFE，設(shè)這個(gè)封閉圖形的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系及自變量t的取值范圍；
（3）求當(dāng)t為何值時(shí)，以O(shè)、E、F為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)C、E、F在一條直線上的時(shí)候．很顯然三角形EAF和EOC相似，那么可通過相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例來得出關(guān)于EA、AF、EO，OC的比例關(guān)系，根據(jù)E，F(xiàn)的速度，可以用時(shí)間t表示出EA、AF、EO的長，那么根據(jù)這個(gè)比例關(guān)系即可求出t的值．
（2）可將OCFE的面積分成三角形EAF和梯形AFCO兩部分來計(jì)算．三角形EAF中，可以用t表示出EA、AF，梯形AFCO中，AF已經(jīng)用t表示出來，而OA和OC可以用A、C的坐標(biāo)求出，因此根據(jù)三角形和直角梯形的面積公式即可得出S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）可分三種情況進(jìn)行討論：
當(dāng)OE=EF，E為頂點(diǎn)時(shí)；當(dāng)OF=OE，O為頂點(diǎn)時(shí)；當(dāng)OF=FE，F(xiàn)為頂點(diǎn)時(shí)．
然后用各點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)坐標(biāo)系中點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離公式表示出這些相等的線段求出t的值．

解答：解：（1）當(dāng)三點(diǎn)C、E、F在同一直線上時(shí)，
△EAF∽△EOC，
則可得：

t

t+4

=

2t

12

解得t=2
即當(dāng)t=2時(shí)，三點(diǎn)C、E、F在同一直線上


（2）由已知得S=S_△EAF+S_梯形AOCF=

t2

2

+

1

2

(2t+12)×4
=

t2

2

+4t+24
自變量t的取值范圍為0＜t≤4；

（3）分3種情況：
當(dāng)OF=EF時(shí)，AO=EA，則t=4
當(dāng)OF=OE時(shí)，OF²=OE²，則（4+t）²=4²+4t²
解得t=

8

3

當(dāng)EF=OE時(shí)，EF²=OE²，則（4+t）²=t²+4t²
解得t=

4

5 -1

所以t的值為：4或

8

3

或

4

5 -1

．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合梯形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，要注意第（3）問中，要分腰和頂點(diǎn)的不同來分類討論，不要丟掉任何一種情況．