Question

5．如圖所示，函數(shù)y₁=x（x＞0），y₂=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A，與直線x=3分別交于B，C兩點(diǎn)，給出以下四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)x＞2時(shí)，y₂＜y₁；
②$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{3}$；
③BC=$\frac{5}{3}$；
④在y₂=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象上取一點(diǎn)P，使S_△PBC=2S_△ABC，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）．
其中正確的結(jié)論有①②③（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）

Answer 1

分析 根據(jù)題意得出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出當(dāng)x＞2時(shí)，y₂＜y₁，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{3}$，求出BD，DC的長即可得出BC的長，結(jié)合P點(diǎn)到x=3的距離得出P點(diǎn)橫坐標(biāo)進(jìn)而得出答案．

解答 解：由題意可得：當(dāng)x=$\frac{4}{x}$，
解得：x₁=2，x₂=-2，
則y₁=2，
故A（2，2），
當(dāng)x＞2時(shí)，y₂＜y₁，故①正確；
過點(diǎn)A作AE⊥x軸，
則△OAE∽△OBD，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{3}$，
故②正確，
當(dāng)x=3時(shí)，BD=3，CD=$\frac{3}{4}$，
∴BD-CD=BC=$\frac{5}{3}$，故③正確；
在y₂=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象上取一點(diǎn)P，
使S_△PBC=2S_△ABC，則點(diǎn)P到直線x=3的距離是AF的2倍，即為2，
則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1或5，
所以，P點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，4）或（5，$\frac{4}{5}$），
y₂=ax²+bx（a≠0），
如圖所示，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了反比例函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積求法等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出P點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．