閱讀理解:
如圖1,在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合),分別連接ED,EC,可以把四邊形ABCD分成三個三角形,如果其中有兩個三角形相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn);如果這三個三角形都相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn).解決問題:
(1)如圖1,∠A=∠B=∠DEC=55°,試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn),并說明理由;
(2)如圖2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1)的格點(diǎn)(即每個小正方形的頂點(diǎn))上,試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強(qiáng)相似點(diǎn)E;
拓展探究:
(3)如圖3,將矩形ABCD沿CM折疊,使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處.若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強(qiáng)相似點(diǎn),試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系.
(1)是,理由見解析;(2)作圖見解析;(3).
解析試題分析:(1)要證明點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn),只要證明有一組三角形相似就行,很容易證明△ADE∽△BEC,所以問題得解.
(2)根據(jù)兩個直角三角形相似得到強(qiáng)相似點(diǎn)的兩種情況即可.
(3)因?yàn)辄c(diǎn)E是梯形ABCD的AB邊上的一個強(qiáng)相似點(diǎn),所以就有相似三角形出現(xiàn),根據(jù)相似三角形的對應(yīng)線段成比例,可以判斷出AE和BE的數(shù)量關(guān)系,從而可求出解.
試題解析:(1)點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn).
理由:∵∠A=55°,
∴∠ADE+∠DEA=125°.
∵∠DEC=55°,
∴∠BEC+∠DEA=125°.
∴∠ADE=∠BEC.
∵∠A=∠B,
∴△ADE∽△BEC.
∴點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn).
(2)作圖如下:
(3)∵點(diǎn)E是四邊形ABCM的邊AB上的一個強(qiáng)相似點(diǎn),
∴△AEM∽△BCE∽△ECM,
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM.
由折疊可知:△ECM≌△DCM,
∴∠ECM=∠DCM,CE=CD,
∴∠BCE=∠BCD=30°,
∴BE=CE=AB.
在Rt△BCE中,tan∠BCE==tan30°,
∴,
∴
考點(diǎn): 相似形綜合題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
用紙折出黃金分割點(diǎn):裁一張正方形的紙片ABCD,先折出BC的中點(diǎn)E,再折出線段AE,然后通過折疊使EB落到線段EA上,折出點(diǎn)B的新位置B′,因而EB′=EB,類似地,在AB上折出點(diǎn)B″使AB″=AB′,這時B″就是AB的黃金分割點(diǎn),請你證明這個結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,△ABC在坐標(biāo)平面內(nèi)三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,2)、B(3,3)、C(3,1).
(1)根據(jù)題意,請你在圖中畫出△ABC;
(2)在原圖中,以B為位似中心,畫出△A′BC′使它與△ABC位似且位似比是3:1,并寫出頂點(diǎn)A′和C′的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在△ABC中,AC=8cm,BC=16cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿著AC邊向點(diǎn)C以1cm/s的速度運(yùn)動,點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿著CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動,如果P與Q同時出發(fā),經(jīng)過幾秒△PQC和△ABC相似?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在直角梯形OABC中,OA∥BC,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(13,0),B(11,12),動點(diǎn)P,Q分別從O、B兩點(diǎn)同時出發(fā),點(diǎn)P以每秒2個單位的速度沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動,點(diǎn)Q以每秒1個單位的速度沿BC向C運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動時,點(diǎn)Q同時停止運(yùn)動.線段OB、PQ相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE∥OA,交AB于點(diǎn)E,設(shè)動點(diǎn)P、Q運(yùn)動時間為t(單位:s)
(1)當(dāng)t為何值時,四邊形PABQ是平行四邊形,請寫出推理過程;
(2)通過推理論證:在P、Q的運(yùn)動過程中,線段DE的長度不變;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
老師要求同學(xué)們在圖①中內(nèi)找一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到OM、ON的距離相等.
小明是這樣做的:在OM、ON上分別截取OA=OB,連結(jié)AB,取AB中點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求.
請你在圖②中的內(nèi)找一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到OM的距離是到ON距離的2倍.要求:簡單敘述做法,并對你的做法給予證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖①,已知線段AB=8,以AB為直徑作半圓O,再以O(shè)A為直徑作半圓C,P是半圓C上的一個動點(diǎn)(P與點(diǎn)A,O不重合),AP的延長線交半圓O于點(diǎn)D。
(1)判斷線段AP與PD的大小關(guān)系,并說明理由;
(2)連接PC,當(dāng)∠ACP=600時,求弧AD的長;
(3)過點(diǎn)D作DE⊥AB,垂足為E(如圖②),設(shè)AP=x,OE=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知四邊形ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,AD邊上的點(diǎn),DE與CF交于點(diǎn)G.(1)如圖1,若四邊形ABCD是矩形,且DE⊥CF.則 (填“<”或“=”或“>”);
(2)如圖2,若四邊形ABCD是平行四邊形,試探究:
當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時,使得=成立?并證明你的結(jié)論;
(3)如圖3,若BA="BC=" 3,DA="DC=" 4,∠BAD= 90°,DE⊥CF.則的值為 .
圖1 圖2 圖3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知:在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD=25,BC=32.連接BD,AE⊥BD,垂足為E.
(1)求證:△ABE∽△DBC;
(2)求線段AE的長.
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