Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線(xiàn)BC下方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．

Answer 1

分析：（1）把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=x²+bx+c即可求出bc的值，故可得出二次函數(shù)的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)E，設(shè)P（x，x²-2x-3），易得，直線(xiàn)BC的解析式為y=x-3則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x-3），再根據(jù)S_{四邊形ABPC}=S_△ABC+S_△BPQ+S_△CPQ即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B（3，0），C（0，-3）在二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象上，
∴將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得

9+3b+c=0 c=-3

，
解得：

b=-2 c=-3

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x²-2x-3；

（2）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)E，
設(shè)P（x，x²-2x-3），
設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵B（3，0），C（0，-3），
∴

3k+b=0 b=-3

，
解得

k=1 b=-3

，
∴直線(xiàn)BC的解析式為y=x-3．
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x-3），
∴S_{四邊形ABPC}=S_△ABC+S_△BPQ+S_△CPQ
=

1

2

AB•OC+

1

2

QP•OE+

1

2

QP•EB
=

1

2

×4×3+

1

2

（3x-x²）×3
=-

3

2

（x-

3

2

）²+

75

8

，
∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，四邊形ABPC的面積最大．此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

2

，-

15

4

），四邊形ABPC的面積

75

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、三角形的面積公式等知識(shí)，難度適中．