Question

如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，將一直角三角形的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方.

(1)將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，問：直

線ON是否平分∠AOC？請說明理由；

(2) 若∠BOC=120°.

①將圖1中的三角板繞點O按每秒10°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為           （直接寫出結(jié)果）；

②將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，請?zhí)骄浚?/p>

∠AOM與∠NOC之間的數(shù)量關系，并說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）已知∠AOC=60°，

∴∠BOC=120°，

又OM平分∠BOC，

∠COM=∠BOC=60°，

∴∠CON=∠COM+90°=150°；

（2）延長NO，

∵∠BOC=120°

∴∠AOC=60°，

當直線ON恰好平分銳角∠AOC，

∴∠AOD=∠COD=30°，

即順時針旋轉(zhuǎn)300°時NO延長線平分∠AOC，

由題意得，10t=300°

∴t=30，

當NO平分∠AOC，

∴∠NOR=30°，

即順時針旋轉(zhuǎn)120°時NO平分∠AOC，

∴10t=120°，

∴t=12，

∴t=12或30；

（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，

∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°，

所以∠AOM與∠NOC之間的數(shù)量關系為：∠AOM-∠NOC=30°．

【解析】（1）由角的平分線的定義和等角的余角相等求解；

（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，則∠AON=30°或∠NOR=30°，即順時針旋轉(zhuǎn)300°或120°時ON平分∠AOC，據(jù)此求解；

（3）因為∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，然后作差即可．