Question

如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，拋物線y=-x²+bx+c（c＞0）的頂點為D，與y軸的交點為C，過點C作CA∥x軸交拋物線于點A，在AC延長線上取點B，使BC=

1

2

AC，連接OA，OB，BD和AD．
（1）若點A的坐標是（-4，4）．
①求b，c的值；
②試判斷四邊形AOBD的形狀，并說明理由；
（2）是否存在這樣的點A，使得四邊形AOBD是矩形？若存在，請直接寫出一個符合條件的點A的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）①將拋物線上的點的坐標代入拋物線即可求出b、c的值；
②求證AD=BO和AD∥BO即可判定四邊形為平行四邊形；
（2）根據(jù)矩形的各角為90°可以求得△ABO∽△OBC即

BC

OB

=

BO

AB

，再根據(jù)勾股定理可得OC=

2

BC，AC=

2

OC，可求得橫坐標為±

2

c，縱坐標為c．

解答：解：（1）①∵AC∥x軸，A點坐標為（-4，4）．
∴點C的坐標是（0，4）
把A、C兩點的坐標代入y=-x²+bx+c得，

4=-16-4b+c 4=c

，
解得

b=-4 c=4

；
②四邊形AOBD是平行四邊形；
理由如下：
由①得拋物線的解析式為y=-x²-4x+4，
∴頂點D的坐標為（-2，8），
過D點作DE⊥AB于點E，
則DE=OC=4，AE=2，
∵AC=4，
∴BC=

1

2

AC=2，
∴AE=BC．
∵AC∥x軸，
∴∠AED=∠BCO=90°，
∴△AED≌△BCO，
∴AD=BO．∠DAE=∠OBC，
∴AD∥BO，
∴四邊形AOBD是平行四邊形．

（2）存在，點A的坐標可以是（-2

2

，2）或（2

2

，2）
要使四邊形AOBD是矩形；
則需∠AOB=∠BCO=90°，
∵∠ABO=∠OBC，
∴△ABO∽△OBC，
∴

BC

OB

=

BO

AB

，
又∵AB=AC+BC=3BC，
∴OB=

3

BC，
∴在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理可得：OC=

2

BC，AC=

2

OC，
∵C點是拋物線與y軸交點，
∴OC=c，
∴A點坐標為（-

2

c，c），
∴頂點橫坐標

b

2

=

2

2

c，b=

2

c，
∵將A點代入可得c=-（-

2

c）²+

2

c•

2

c+c，
∴橫坐標為±

2

c，縱坐標為c即可，
令c=2，
∴A點坐標可以為（2

2

，2）或者（-2

2

，2）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)對稱軸頂點坐標的公式，以及函數(shù)與坐標軸交點坐標的求解方法．