Question

（2004•海淀區(qū)）已知：關(guān)于x的一元二次方程ax²+2ax+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之差的平方為m．
（1）試分別判斷當(dāng)a=1，c=-3與a=2，c=時(shí)，m≥4是否成立，并說明理由；
（2）若對(duì)于任意一個(gè)非零的實(shí)數(shù)a，m≥4總成立，求實(shí)數(shù)c及m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a(bǔ)、c的值分別代入ax²+2ax+c=0，①求出方程的根以及兩個(gè)實(shí)數(shù)根之差的平方，判斷m的值；②根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出m的值的取值范圍．
（2）先根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，表述出兩根的和與兩根的差，即可用a，c表示出m的值，依據(jù)對(duì)于任意一個(gè)非零的實(shí)數(shù)a，m≥4總成立，即可確定c和m的值．
解答：解：（1）當(dāng)a=1，c=-3時(shí)，m≥4成立；
當(dāng)a=2，c=時(shí)，m≥4不成立；
當(dāng)a=1，c=-3時(shí)，原方程為x²+2x-3=0，則x₁=1，x₂=-3，
∴m=[1-（-3）]²=16＞4，
即m≥4成立．
當(dāng)a=2，c=時(shí)，原方程為2x²+4x+=0．
由△=4²-4×2×＞0，可設(shè)方程的兩個(gè)根分別為x₁，x₂，
則x₁+x₂=-2，x₁•x₂=，
∴m=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4-2＜4，
即m≥4不成立．
（2）依題意，設(shè)原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x₁，x₂，
則x₁+x₂=-2，x₁•x₂=，
可得m=（x₁-x₂）²=4-．
∵對(duì)于任意一個(gè)非零的實(shí)數(shù)a都有4-≥4，
∴c=0．
當(dāng)c=0時(shí)，△=4a²＞0，
答：c=0，m=4．
點(diǎn)評(píng)：此題具有一定的開放性，結(jié)合根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系，考查了同學(xué)們利用不等關(guān)系推理特殊值的能力．