Question

在Rt△ABC中，∠B=90°，B（0，0），A（0，4），C（4

3

，0）．點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，線段DE長為

39

；
（2）當(dāng)線段EF與以點(diǎn)B為圓心，半徑為1的⊙B有兩個(gè)公共交點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，由OA=4，OC=4

3

，運(yùn)用正切函數(shù)的定義得出∠C=30°，再運(yùn)用含t的代數(shù)式分別求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，然后根據(jù)線段DE長為

39

得到關(guān)于t的方程，求解即可；
（2）當(dāng)線段EF與⊙B有兩個(gè)公共交點(diǎn)時(shí)，直線EF與⊙B相交，此時(shí)圓心到直線的距離小于圓的半徑．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，B（0，0），A（0，4），C（4

3

，0），
∴tanC=OA：OC=

3

3

，
∴∠C=30°．
在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t，CF=

3

t，
∴OF=4

3

-

3

t，
∴D（4

3

-

3

t，t）．
又∵AE=t，
∴OE=4-t．
∴E（0，4-t）．
當(dāng)線段DE長為

39

時(shí)，有（4

3

-

3

t）²+（t-4+t）²=39，
解得t₁=

5

7

，t₂=5（不合題意，舍去）．
故t₁=

5

7

時(shí)，線段DE長為

39

；

（2）∵⊙B的半徑為1，
∴當(dāng)點(diǎn)O到EF的距離小于1時(shí)，直線EF與⊙B相交．
而點(diǎn)O到EF的距離即為直角△EOF斜邊EF上的高的長度，設(shè)直角△EOF斜邊EF上的高為h．
∵AE∥DF，AE=DF=t，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴∠EFO=∠C=30°，
則h=OF•sin∠EFO=

1

2

OF=

4 3 - 3 t

2

，
∴

4 3 - 3 t

2

＜1，
解得t＞

12-2 3

3

．
又∵點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向運(yùn)動(dòng)，DF⊥BC于點(diǎn)F，
∴AE＜4
故t的取值范圍為：

12-2 3

3

＜t＜4．

點(diǎn)評：本題考查了勾股定理，兩點(diǎn)間的距離公式，直線與圓的位置關(guān)系和正切函數(shù)的定義，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．