Question

（2013•沙灣區(qū)模擬）從甲乙兩題中選作一題，如果兩題都做，只以甲題計(jì)分
題甲：已知矩形兩鄰邊的長a、b是方程x²-(k+1)x+

1

4

k2+1=0的兩根．
（1）求k的取值范圍；
（2）當(dāng)矩形的對角線長為

5

時，求k的值；
（3）當(dāng)k為何值時，矩形變?yōu)檎�方形�?/div>

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分析：（1）根據(jù)根的判別式就可以求出k的取值范圍；
（2）根據(jù) 根與系數(shù)的關(guān)系a+b=k+1，ab=

1

4

k²+1，再根據(jù)勾股定理建立方程就可以求出結(jié)論；
（3）當(dāng)△=0時，由根的判別式就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，得
[-（k+1）]²-4×1×（

1

4

k²+1）≥0，
解得：k≥

3

2

；
故k的取值范圍是k≥

3

2

；

（2）∵a、b是方程x²-(k+1)x+

1

4

k2+1=0的兩根．
∴a+b=k+1，ab=

1

4

k²+1，
∴（a+b）²=（k+1）²
∴a²+b²+2ab=k²+2k+1，
∴a²+b²=

1

2

k²+2k-1．
∵a²+b²=（

5

）²，
∴

1

2

k²+2k-1=5，
解得：k₁=-6（舍去），k₂=2
∴k=2．

（3）由題意，得
[-（k+1）]²-4×1×（

1

4

k²+1）=0，
解得：k=

3

2

點(diǎn)評：本題是一道一元二次方程的綜合試題，考查了根的判別式的運(yùn)用，根與系數(shù)的關(guān)系的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時靈活運(yùn)用根的判別式是解答本題的關(guān)鍵．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根的判別式就可以求出k的取值范圍；
（2）根據(jù) 根與系數(shù)的關(guān)系a+b=k+1，ab=

1

4

k²+1，再根據(jù)勾股定理建立方程就可以求出結(jié)論；
（3）當(dāng)△=0時，由根的判別式就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，得
[-（k+1）]²-4×1×（

1

4

k²+1）≥0，
解得：k≥

3

2

；
故k的取值范圍是k≥

3

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；

（2）∵a、b是方程x²-(k+1)x+

1

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k2+1=0的兩根．
∴a+b=k+1，ab=

1

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k²+1，
∴（a+b）²=（k+1）²
∴a²+b²+2ab=k²+2k+1，
∴a²+b²=

1

2

k²+2k-1．
∵a²+b²=（

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）²，
∴

1

2

k²+2k-1=5，
解得：k₁=-6（舍去），k₂=2
∴k=2．

（3）由題意，得
[-（k+1）]²-4×1×（

1

4

k²+1）=0，
解得：k=

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點(diǎn)評：本題是一道一元二次方程的綜合試題，考查了根的判別式的運(yùn)用，根與系數(shù)的關(guān)系的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時靈活運(yùn)用根的判別式是解答本題的關(guān)鍵．