17.如圖,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,已知A(0,2)、C(5,0).
(1)如圖①,求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)如圖②,BF在△ABC的內(nèi)部且過(guò)B點(diǎn)的任意一條射線,過(guò)A作AM⊥BF于M,過(guò)C作CN⊥BF于N點(diǎn),寫出BN-NC與AM之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

分析 (1)作BD⊥y軸,根據(jù)AAS可證明△ABD≌△COA,則BD=OA,AD=OC,即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)BN-NC=2AM,如圖②,在BN上截取BG=CN,連接AG,AN,證明△ABG≌△ANC,得到AN=AG,∠CAN=∠BAG,再證明GN=2AM,所以BN-NC=BN-BG=GN=2AM.

解答 解:(1)如圖1,作BD⊥y軸,

∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,
∴AB=AC,∠BAD+∠OAC=90°,
∵∠OCA+∠OAC=90°,
∴∠BAD=∠OCA,
在△ABD和△COA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AOC=9{0}^{°}}\\{∠BAD=∠OCA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$,
∴△ABD≌△COA(AAS),
∴OA=BD,OC=AD,
∵A(0,2),C(5,0),
∴OA=2,OC=5,
∴BD=2,AD=5,
∴BD=2,OD=3,
∴B(-2,-3).
(2)BN-NC=2AM,
如圖②,在BN上截取BG=CN,連接AG,AN,

∵∠BAC=∠ANC=90°,
∴B,A,N,C四點(diǎn)共圓,
∴∠ANB=∠ACB=45°,∠ACN=∠ABN,
在△ABG和△ANC中,
$\left\{\begin{array}{l}{BG=CN}\\{∠ACN=∠ABN}\\{AC=AB}\end{array}\right.$
∴△ABG≌△ANC,
∴AN=AG,∠CAN=∠BAG,
∵∠ANB=45°,
∴∠ANC=135°,
∴∠NAC+∠ACN=45°,
∴∠ABM+∠BAG=45°,
∴∠AGN=∠ANB=45°,
∴AG=AN,∠GAN=90,且AM⊥MN,
∴AM=MN=MG,
∴GN=2AM,
∴BN-NC=BN-BG=GN=2AM.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定定理,解決本題的關(guān)鍵是△ABD≌△COA,△ABG≌△ANC.

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(1)求拋物線的解析式;
(2)過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交AC于點(diǎn)E,若AD=AE,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)連接BD交AC于點(diǎn)F,求$\frac{DF}{BF}$的最大值.

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(1)求拋物線與直線CD的解析式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上有點(diǎn)E,使EA+EC的值最小,求最小值和點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)F為在直線CD上方的拋物線上任意一點(diǎn),作FG⊥CD于點(diǎn)G,作FH∥y軸,與直線CD交于點(diǎn)H,求△FGH的周長(zhǎng)的最大值和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)F的坐標(biāo).

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