Question

3．如圖，點A是以BC為直徑的⊙O上一點，AD⊥BC于點D，過點B作⊙O的切線，與CA的延長線相交于點E，G是AD的中點，連結(jié)CG并延長與BE相交于點F，延長AF與CB的延長線相交于點P，且FG=FB=3．則以下四個結(jié)論：①BF=EF；②PA⊥OA；③tan∠P=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$；④OC=3$\sqrt{2}$，上述結(jié)論中正確的有①②④（填番號）．

Answer 1

分析 ①正確，根據(jù)AD∥EB得$\frac{AG}{EF}=\frac{CG}{CF}=\frac{GD}{BF}$即可證明．②正確，只要證明∠FAB+∠OAB=90°即可．③錯誤，求出AH，F(xiàn)H，根據(jù)tan∠P=tan∠AFH=$\frac{AH}{FH}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，即可解決問題．④正確，在RT△ADO中利用勾股定理即可求出半徑．

解答 解：如圖連接AO、AB、BG作FH⊥AD于H，
∵EB是切線，AD⊥BC
∴∠EBC=∠ADC=90°，
∴AD∥EB，
∴$\frac{AG}{EF}=\frac{CG}{CF}=\frac{GD}{BF}$，
∵AG=GD，
∴EF=FB故①正確，
∵BC是直徑，
∴∠BAC=∠BAE=90°，∵EF=FB，
∴FA=FB=FE=FG=3，
∴∠FAB=∠FBA，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠FBA+∠ABO=90°，
∴∠FAB+∠OAB=90°，
∴PA是⊙O的切線，故②正確．
∵FA=FG，F(xiàn)H⊥AG，
∴AH=HG，
∵∠FBD=∠BDH=∠FHD=90°，
∴四邊形FBDH是矩形，
∴FB=DH=3，
∵AG=GD，
∴AH=HG=1，GD=2，F(xiàn)H=$\sqrt{A{F}^{2}-A{H}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵FH∥PD，
∴∠AFH=∠APD，
∴tan∠P=tan∠AFH=$\frac{AH}{FH}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，故③錯誤，
設(shè)半徑為r，在RT△ADO中，∵AO²=AD²+OD²，
∴r²=4²+（r-2$\sqrt{2}$）²，
∴r=3$\sqrt{2}$故④正確，
故答案為①②④．

點評 本題考查圓的有關(guān)知識、平行線分線段成比例定理、直角三角形斜邊中線定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考壓軸題．