Question

11．已知，如圖，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點，PA=3，PB=4，PC=5，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，則△BPE為等邊三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延長BP，作AF⊥BP于點FAP=3，PE=4，根據(jù)勾股定理的逆定理可得到△APE為直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度數(shù)，在直角△APF中利用三角函數(shù)求得AF和PF的長，則在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的長，進而求得三角形ABC的面積．

解答 解：∵△ABC為等邊三角形，
∴BA=BC，
可將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，
連EP，且延長BP，作AF⊥BP于點F．如圖，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE為等邊三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE²=PE²+PA²，
∴△APE為直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
∴∠APF=30°，
∴在直角△APF中，AF=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{3}{2}$，PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AP=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴在直角△ABF中，AB²=BF²+AF²=（4+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）²+（$\frac{3}{2}$）²=25+12$\sqrt{3}$．
則△ABC的面積是$\frac{\sqrt{3}•A{B}^{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}（25+12\sqrt{3}）}{4}$=$\frac{25\sqrt{3}+36}{4}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．