Question

（2013•鹽城模擬）如圖，矩形ABCD中，AD=8，AB=4，點E沿A→D方向在線段AD上運動，點F沿D→A方向在線段DA上運動，點E、F速度都是每秒2個長度單位，E、F兩點同時出發(fā)，且當(dāng)E點運動到D點時兩點都停止運動，設(shè)運動時間是t（秒）．
（1）當(dāng) 0＜t＜2時，判斷四邊形BCFE的形狀，并說明理由；
（2）當(dāng)0＜t＜2時，射線BF、CE相交于點O，設(shè)S_△FEO=y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）問射線BF與射線CE所成的銳角是否能等于60°？若有可能，請求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)BE、CF，則AE=2t，DF=2t，易證得Rt△ABE≌Rt△DCF，得到BE=CF，由于EF∥BC，EF≠BC，所以可判斷四邊形BCFE為等腰梯形；
（2）過O點作MN⊥AD于M，交BC于N，由EF∥BC，根據(jù)三角形相似的判定方法得△OEF∽△OCB，則

OM

ON

=

EF

BC

，即

OM

4-OM

=

8-4t

8

，解得OM=

8-4t

4-t

，然后根據(jù)三角形面積公式可得到y(tǒng)與t的函數(shù)關(guān)系；
（3）討論：當(dāng)0＜t＜2時，∠ABE和∠DCF都小于45°，則△OBC為鈍角三角形，則∠EOB=60°，所以∠OCB=∠OBC=30°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CH=

3

EH=4

3

，得到AE=8-4

3

，此時t=

8-4 3

2

=（4-2

3

）s；當(dāng)2≤t≤4時，BF與CE相交于O點，∠BOC=60°，同理可得四邊形BCEF為等腰梯形，則∠DOE=30°，得到ED=

CD

3

=

4 3

3

，則AE=8-

4 3

3

，利用速度公式得到此時t=

8- 4 3 3

2

=（4-

2

3

3

）s．

解答：解：（1）四邊形BCFE為等腰梯形．理由如下
連結(jié)BE、CF，如圖，
∵AE=2t，DF=2t，
∴AE=DF，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，AB=CD，∠A=∠D=90°，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF，
∴BE=CF，
而EF∥BC，EF≠BC，
∴四邊形BCFE為等腰梯形；

（2）過O點作MN⊥AD于M，交BC于N，如圖，
則MN⊥BC，
∴MN=AB=4，
則EF=8-2t-2t=8-4t，
∵EF∥BC，
∴△OEF∽△OCB，
∴

OM

ON

=

EF

BC

，即

OM

4-OM

=

8-4t

8

，解得OM=

8-4t

4-t

，
∴y=

1

2

OM•EF=

1

2

×

8-4t

4-t

×（8-4t），
即y=

4(4-2t)2

4-t

；

（3）存在．理由如下：
當(dāng)0＜t＜2時，∠ABE和∠DCF都小于45°，則△OBC為鈍角三角形，
若射線BF與射線CE所成的銳角等于60°，即∠EOB=60°，所以∠OCB=∠OBC=30°，
作EH⊥BC于H，則EH=4，
∴CH=

3

EH=4

3

，
∴BH=8-4

3

，
∴AE=8-4

3

，
∴t=

8-4 3

2

=（4-2

3

）s；
當(dāng)2≤t≤4時，BF與CE相交于O點，如圖，
若射線BF與射線CE所成的銳角等于60°，即∠BOC=60°，
同理可得四邊形BCEF為等腰梯形，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∴∠DOE=30°，
∴ED=

CD

3

=

4 3

3

，
∴AE=8-

4 3

3

，
∴t=

8- 4 3 3

2

=（4-

2

3

3

）s．
∴當(dāng)t=（4-2

3

）s或（4-

2

3

3

）s時，射線BF與射線CE所成的銳角等于60°．

點評：本題考查了四邊形綜合題：熟練掌握矩形的性質(zhì)以及等腰梯形的判定；會運用三角形相似的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系進行幾何計算．