Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=5，AD=1，BC=9，點P為邊BC上一動點，作PH⊥DC，垂足H在邊DC上，以點P為圓心PH為半徑畫圓，交射線PB于點E.

（1）當圓P過點A時，求圓P的半徑；

（2）分別聯結EH和EA，當△ABE∽△CEH時，以點B為圓心，r為半徑的圓B與圓P相交，試求圓B的半徑r的取值范圍；

（3）將劣弧沿直線EH翻折交BC于點F，試通過計算說明線段EH和EF的比值為定值，并求出此定值.

Answer 1

【答案】（1）圓P的半徑長為3；（2）；（3）說明見解析，.

【解析】分析：

（1）如下圖，作AM⊥BC于M，聯結AP，由題意易得AM=3，BM=4，tanB=tanC=，設PH=3k，則可得HC=4k，CP=5k，MP=5-5k，在Rt△APM中，由勾股定理可得，結合AP=PH即可列出關于k的方程，解方程即可求得k的值，再結合CP<BC檢驗即可得到所求答案；

（2）由（1）可知，若設PH=3k，則HC=4k，CP=5k，由點E在圓P上可得PE=3k，CE=8k，BE=9-8k，由△ABE∽△CEH可得 ，由此可得：，解得k的值即可求得圓P的半徑和BE的長，結合圓B和圓P的位置關系是相交，即可求得圓B的半徑r的取值范圍；

（3）在圓P上取點F關于EH對稱的點G，聯結EG，作PQ⊥EG于G，HN⊥BC于N，

則EG=EF，∠1=∠3，EQ=QG，EF=EG=2EQ. 結合已知條件先證△EPQ≌△PHN可得EQ=PN，從而可得EF=EG=2PN，由（1）可知，在Rt△PHC中，若設PH=3k，則HC=4k，PC=5k，由此可得sinC=，cosC=，在Rt△CHN中由此可把HN、NC用含k的式子表達出來，進一步可把PN、EN用含k的式子表達出來，這樣就可把EH和EF用含k的代數式表達出來，由此即可求得EH和EF的比值，得到相應的結論.

詳解：

（1）作AM⊥BC于M，聯結AP，

∵梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=5，AD=1，BC=9，

∴BM=(BC-AD)÷2=4，AM=，

∴tanB= tanC=，

∵PH⊥DC，

∴若設PH=3k，則HC=4k，CP=5k.

∵BC=9，

∴MP=5-5k.

∴，

∵AP=PH，

∴，即，

解得：，

當時，CP=，

∴（舍去），

∴，

∴圓P的半徑長為3；

（2）由（1）可知，若設PH=3k，則HC=4k，CP=5k.

∵點E在圓P上，

∴PE=3k，CE=8k，

∴BE=9-8k，

∵△ABE∽△CEH，

∴，即，

解得：，

∴，即圓P的半徑為，

∵圓B與圓P相交，又BE=9-8k=，

∴；

（3）在圓P上取點F關于EH對稱的點G，聯結EG，作PQ⊥EG于G，HN⊥BC于N，

則EG=EF，∠1=∠3，EQ=QG，EF=EG=2EQ.

∴∠GEP=2∠1，

∵PE=PH，

∴∠1=∠2 ，

∴∠4=∠1+∠2=2∠1，

∴∠GEP=∠4，

∴△EPQ≌△PHN，

∴EQ=PN，

由（1）可知，若設PH=3k，則HC=4k，PC=5k，

∴sinC=，cosC=，

∴NC=，NH=，

∴PN=，

∴EF=EG=2EQ=2PN=，EH=，

∴，即線段EH和EF的比值為定值.