Question

如圖，已知拋物線y₁=x²+bx+c經(jīng)過，兩點，頂點為．

（1）求拋物線y₁ 的解析式；

（2）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點落到點的位置，將拋物線沿軸平移后經(jīng)過點，寫出平移后所得的拋物線y₂ 的解析式；

（3）設(shè)（2）的拋物線y₂與軸的交點為，頂點為，若點在拋物線y₂上，且滿足的面積是面積的2倍，求點的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）答：OD=OE．

證明：連結(jié)OC（如圖）．

∵ AB為⊙O直徑，∴ ∠ACB＝90°．

∵ AC=BC，∴△ACB是等腰直角三角形．

∵ AO＝BO，∴ CO⊥AB，∠ACO＝∠ACB＝45°．

∴ ∠ACO＝∠B＝45°．

又 ∠DOC＋∠COE＝∠BOE＋∠EOC＝90°，

∴ ∠DOC＝∠BOE．

∵ OC=OB，∴ △OCD≌△OBE．∴ OD＝OE．

（2）共有四種情況，

① 當(dāng)點C與點E重合，即CE＝0時，OE＝OB；

② 當(dāng)點E為CB中點，即CE＝1時，OE＝BE；

③ 當(dāng)點E在線段CB上，且CE＝2－時，OB＝EB；

④ 當(dāng)E在CB的延長線上，且CE＝2＋時，OB＝EB．……………………6′

    （3）答：MD∶ME＝1∶3 ．

　  證明：分別過點M作MF⊥AC、MH⊥BC，垂足分別是F、H．（如圖）

　∵ ∠A＝∠B＝45°, ∴ Rt△AFM∽Rt△BHM．

∴ ．

∵ ∠C＝90°，∴ ∠FMH＝90°．

∴ ∠FMD＋∠DMH＝∠EMH＋∠HMD=90°．

∴ ∠FMD＝∠EMH．

∴ Rt△FMD∽Rt△HME．

∴ ．′