Question

定義：如圖1，點M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點

（1）已知點M，N是線段AB的勾股分割點，若AM=2，MN=3求BN的長；

（2）如圖2，在△ABC中，F(xiàn)G是中位線，點D，E是線段BC的勾股分割點，且EC>DE≥BD，連接AD，AE分別交FG于點M，N，求證：點M，N是線段FG的勾股分割點

（3）已知點C是線段AB上的一定點，其位置如圖3所示，請在BC上畫一點D，使C，D是線段AB的勾股分割點（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，畫出一種情形即可）

（4）如圖4，已知點M，N是線段AB的勾股分割點，MN>AM≥BN，△AMC，△MND

和△NBM均是等邊三角形，AE分別交CM，DM，DN于點F，G，H，若H是DN的中點，試探究，和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由21教育網(wǎng)

Answer 1

（1）解:當(dāng)為最大線段時，

∵點，是線段的勾股分割點，

∴.       

當(dāng)為最大線段時，

∵點，是線段的勾股分割點，

∴.        

綜上，或.              

（2）證明：∵是△的中位線，∴.

∴.

∴點，分別是，的中點.  

∴，，.   ∵點，是線段的勾股分割點，且 ＞ ≥，

∴.

∴.

∴.                        

∴點，是線段的勾股分割點.      

（3）用尺規(guī)畫出圖形，如圖3所示.             

（4）解：.    

理由：設(shè)_{，，，}

∵是的中點，∴.

∵△，△均為等邊三角形，

∴.

∵，

∴△≌△.

∴.∴.

∵，∴△∽△.

∴.

∴.

∵點，是線段的勾股分割點，

∴.

∴，

又∵.∴.             

在△和△中，，，，

∴△≌△.

∴.                   

∵，∴.

∴.

∵，，

∴.