Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，連接AG并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接.若，，則下列結(jié)論：①四邊形是菱形；②；③；④；⑤.正確的有（　　 ）

A.①③④B.①③⑤C.②③④⑤D.①②③④⑤

Answer 1

【答案】A

【解析】

①根據(jù)尺規(guī)作圖得到直線AE是∠FAB的角平分線，也是線段BF的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、菱形的判定定理即可判斷；②根據(jù)菱形的性質(zhì)，在Rt△ABO中，利用勾股定理可求得AE的長(zhǎng)，即可判斷；③利用菱形的面積公式“對(duì)角線乘積的一半”可求得，即可判斷；④根據(jù)，可求得的長(zhǎng)，即可判斷；⑤在Rt△AHE中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求得HO的長(zhǎng)，即可判斷．

①由尺規(guī)作圖的過(guò)程可知，直線AE是∠FAB的角平分線，也是線段BF的垂直平分線，
∴AF=AB，EF=EB，∠FAE=∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，
∴∠AEB=∠BAE，
∴BA=BE，
∴BA=BE=AF=FE，
∴四邊形ABEF是菱形，故①正確；

②∵四邊形ABEF是菱形，

∴AE⊥BF，AO=OE，BO=OF=3，

在Rt△ABO中，AB=4，BO =3，∠AOB=90，

∴，

∴AE=2AO=，故②錯(cuò)誤；

③∵四邊形ABEF是菱形，

∴，故③正確；

④∵四邊形ABEF是菱形，

∴BE=AB=4，

∵，

∴，故④正確；

⑤∵四邊形ABEF是菱形，

∴O是E的中點(diǎn)，

∴在Rt△AHE中，HO是斜邊AE的中線，

∴HO，故⑤錯(cuò)誤；

綜上，①③④正確，

故選：A．