Question

如圖，拋物線與x軸相交于A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD∥x軸，交拋物線點(diǎn)D．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）若梯形ACDB的對角線AC、BD交于點(diǎn)E，求點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求經(jīng)過A、B、E三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）點(diǎn)P是直線CD上一點(diǎn)，且△PBC與△ABC相似，求符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1），
當(dāng)y=0時(shí)，-x²+x-2=0，
解得：x₁=1，x₂=4，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，
∴A（1，0），B（4，0），C（0，-2），
∵CD∥x軸，
∴D點(diǎn)的縱坐標(biāo)也是-2，
把y=-2代入得：
-x²+x-2=-2，
解得：x₃=0，x₄=5，
D點(diǎn)的坐標(biāo)是：（5，-2），
S_梯形ACDB=×[（4-1）+5]×|-2|，
=8．
所以梯形ABCD的面積是8．

（2）由拋物線的對稱性有，
過E作EN⊥AB于N，，
，
，
∴，
設(shè)：經(jīng)過A、B、E三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=a-，
把A（1，0）代入解得：a=，
所以經(jīng)過A、B、E三點(diǎn)的拋物線的解析式是：，
即y═x²-x+．

（3）當(dāng)點(diǎn)P在C的右側(cè)，
當(dāng)∠CAB=∠CBP時(shí)，
=，=，
PB=，
設(shè)P（a，-2），
∵B（4，0），
∴由勾股定理得：2²+（4-a）²=（）²，
a=（此時(shí)∠CAB≠∠CBP舍去），a=，
∴P（，-2）；
當(dāng)∠CPB=∠CAB時(shí)，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠PCB，
∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∠CBP+∠BCP+∠BPC=180°，
∴∠ACB=∠CBP，
∴AC∥PB，
∴四邊形ACPB是平行四邊形，
∴AB=CP，
∵A（1，0），B（4，0），
∴CP=AB=3，
∵C（0，-2），CP∥AB，
∴P（3，-2），
當(dāng)點(diǎn)P在C的左側(cè)，由題意有鈍角∠BAC≠鈍角∠PCB，此時(shí)不存在．
所以符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)是P（3，-2）和P（，-2）．
分析：（1）把x=0，y=0分別代入解析式，即可求出A、B、C的坐標(biāo)，由CD∥x軸得到C和D的縱坐標(biāo)相等（是-2）從而求出D的坐標(biāo)，利用梯形的面積公式求出即可；
（2）根據(jù)拋物線的對稱性求出E的橫坐標(biāo)，過E作EN⊥AB，就可得到比例式，進(jìn)一步求出E的縱坐標(biāo)，即過、B、E三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式；
（3）由已知相似可得比例式，能求出CP的值，進(jìn)而求出P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)，梯形的面積公式，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用這些知識(shí)解題是解決本題的關(guān)鍵．難點(diǎn)是（3）小題的求法，巧妙地運(yùn)用了分類討論思想．