18.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}x+2$的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線y=ax2+bx+c關(guān)于直線x=$\frac{3}{2}$對稱,且經(jīng)過A、C兩點,與x軸交于另一點為B.
(1)①求點B的坐標(biāo);②求拋物線的解析式.
(2)若點P為直線AC上方的拋物線上的一點,連接PA、PC,若△PAC的面積是△ABC面積的$\frac{3}{5}$,求出此時點P的坐標(biāo).
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點D,使△ADC為直角三角形?若存在,直接寫出點D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

分析 (1)①由直線過點A,可得出點A的坐標(biāo),由A、B關(guān)于直線x=$\frac{3}{2}$對稱可找出B點的坐標(biāo);
②由直線經(jīng)過點C可求出點C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(2)由△PAC的面積是△ABC面積的$\frac{3}{5}$,結(jié)合同底三角形的面積公式即可得出點P到直線AC的距離為點B到直線AC的距離的$\frac{3}{5}$,設(shè)出P點坐標(biāo),由點到直線的距離可列出關(guān)于m的一元二次方程,解方程即可得出結(jié)論;
(3)假設(shè)存在,設(shè)出D點坐標(biāo),由兩點間的距離公式用n表示出各邊長度,結(jié)合勾股定理分別討論即可得出結(jié)論.

解答 解:(1)①令y=-$\frac{1}{2}x+2$=0,解得:x=4,
即點A的坐標(biāo)為(4,0).
∵A、B關(guān)于直線x=$\frac{3}{2}$對稱,
∴點B的坐標(biāo)為(-1,0).
②令x=0,則y=2,
∴點C的坐標(biāo)為(0,2),
∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、B、C,
∴有$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$.
故拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+$\frac{3}{2}$x+2.
(2)直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}x+2$,即$\frac{1}{2}$x+y-2=0,
設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+$\frac{3}{2}$m+2),
∵點P為直線AC上方的拋物線上的一點,
∴0<m<4.
∵△PAC的面積是△ABC面積的$\frac{3}{5}$,
∴點P到直線AC的距離為點B到直線AC的距離的$\frac{3}{5}$.
由點到直線的距離可知:|$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+$\frac{3}{2}$m+2-2|=$\frac{3}{5}$|-$\frac{1}{2}$-2|,
即m2-4m+3=0,解得:m1=1,m2=3.
所以點P的坐標(biāo)為(1,3)或(3,2).
(3)假設(shè)存在,設(shè)D點的坐標(biāo)為($\frac{3}{2}$,n).
由兩點間的距離公式可知:AC=$\sqrt{{4}^{2}+(0-2)^{2}}$=2$\sqrt{5}$,AD=$\sqrt{(\frac{3}{2}-4)^{2}+{n}^{2}}$,CD=$\sqrt{(\frac{3}{2})^{2}+(n-2)^{2}}$,
△ADC為直角三角形分三種情況:
①AC2+AD2=CD2,此時有4n=-20,
解得:n=-5,
此時點D的坐標(biāo)為($\frac{3}{2}$,-5);
②AC2+CD2=AD2,此時有20-4n=0,
解得:n=5,
此時點D的坐標(biāo)為($\frac{3}{2}$,5);
③AD2+CD2=AC2,此時有4n2-8n-15=0,
解得:n=1±$\frac{\sqrt{19}}{2}$.
此時點D的坐標(biāo)為($\frac{3}{2}$,1+$\frac{\sqrt{19}}{2}$)和($\frac{3}{2}$,1-$\frac{\sqrt{19}}{2}$).
綜上可知:在拋物線的對稱軸上存在點D,使△ADC為直角三角形,點D的坐標(biāo)為($\frac{3}{2}$,-5)、($\frac{3}{2}$,5)、($\frac{3}{2}$,1-$\frac{\sqrt{19}}{2}$)和($\frac{3}{2}$,1+$\frac{\sqrt{19}}{2}$).

點評 本題考查了待定系數(shù)法求解析式、點到直線的距離以及勾股定理,解題的關(guān)鍵是(1)待定系數(shù)法求解析式;(2)結(jié)合點到直線的距離列出關(guān)于m的一元二次方程;(3)結(jié)合兩點間的距離公式和勾股定理得出關(guān)于n的方程.本題屬于中檔題,(1)難度不大,(2)可以借助點到直線的距離找出關(guān)于m的一元二次方程來解決問題,(3)分情況討論找出點D的縱坐標(biāo).

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