Question

已知：△ABC是邊長為4的等邊三角形，點O在邊AB上，⊙O過點B且分別與邊AB，BC相交于點D，E，EF⊥AC，垂足為F．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）當直線DF與⊙O相切時，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE．欲證直線EF是⊙O的切線，只需證明EF⊥AC．利用等邊三角形的三個內角都是60°、等腰三角形OBE以及三角形的內角和定理求得同位角∠BOE=∠A=60°，從而判定OE∥AC，所以由已知條件EF⊥AC判定OE⊥EF，即直線EF是⊙O的切線；
（2）連接DF．設⊙O的半徑是r．由等邊三角形的三個內角都是60°、三條邊都相等、以及在直角三角形中30°所對的直角邊是斜邊的一半求得關于r的方程4-r=2（4r-4），解方程即可．
解答：（1）證明：連接OE．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°；
在△BOE中，OB=OE，∠B=60°，
∴∠B=∠OEB=∠BOE=60°，
∴∠BOE=∠A=60°，
∴OE∥AC（同位角相等，兩直線平行）；
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，即直線EF是⊙O的切線；

（2）解：連接DF．
∵DF與⊙O相切，
∴∠ADF=90°．
設⊙O的半徑是r，則EB=r，EC=4-r，AD=4-2r．
在Rt△ADF中，∠A=60°，
∴AF=2AD=8-4r．
∴FC=4r-4；
在Rt△CEF中，∵∠C=60°，∴EC=2FC，
∴4-r=2（4r-4），
解得，r=；
∴⊙O的半徑是．
點評：本題考查了切線的判定與性質、等邊三角形的判定與性質．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．