Question

把兩個全等的等腰直角三角板△ABC和△EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖1），且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合．現(xiàn)將三角板EFG繞O點順時針方向旋轉（旋轉角α滿足條件：0°＜α＜90°），四邊形CHGK是旋轉過程中兩三角板的重疊部分（如圖2）．在上述旋轉過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結論．

Answer 1

分析：利用旋轉的性質，圖形的形狀和大小不變，可以得到角的度數(shù)沒有變化，進一步可以得到∠BGF=∠BGE，得證△BGH≌△CGK，全等三角形的面積相等，則四邊形CHGK的面積等于△BGC的面積，所以四邊形CHGK的面積不變．

解答：解：在上述旋轉過程中，BH=CK，四邊形CHGK的面積不變．
證明：
∵△ABC為等腰直角三角形，G（O）為其斜邊中點，
∴CG=BG，CG⊥AB，且S_△BCG=

1

2

S_△ABC．
∴∠ACG=∠B=45°．
∵∠BGH與∠CGK均為旋轉角，
∴∠BGH=∠CGK．
在△BGH和△CGK中，

∠B=∠ACG=45° BG=CG ∠BGH=∠CGK

∴△BGH≌△CGK．
∴BH=CK，
S_△BGH=S_△CGK．
∴S_{四邊形CHGK}=S_△CHG+S_△CGK=S_△CHG+S_△BGH=S_△BCG=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×4×4=4．
即：旋轉過程中，BH=CK，S_{四邊形CHGK}的面積為4，是一個定值，在旋轉過程中沒有變化．

點評：本題考查的是旋轉的性質以及全等三角形的判定的綜合運用，難度中上．