Question

19．如圖，A（-1，0），B（5，0），C（0，5），拋物線y=ax²+bx+c過A、B、C三點(diǎn)．
（1）求拋物線解析式．
（2）直線BC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，與拋物線交于P點(diǎn)，問是否存在這樣的點(diǎn)P，使得S_△BCP=S_△ABC？若存在求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）點(diǎn)M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若以M，N，C，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫出所有這樣的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件可以設(shè)該拋物線方程為y=a（x-5）（x+1）（a≠0），然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求得系數(shù)a的值；
（2）根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)求得=S_△ABC=15，然后由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)的求法以及三角形的面積公式進(jìn)行解答；
（3）需要分類討論：OC為該平行四邊形的對(duì)角線和邊兩種情況，利用平行四邊形的對(duì)邊相等且平行的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行解答．

解答 解：（1）∵該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是A（-1，0），B（5，0），
∴設(shè)該拋物線方程為y=a（x-5）（x+1）（a≠0），
把C（0，5）代入，得
5=a（0-5）（0+1），
解得a=-1，
則該拋物線解析式為y=-（x-5）（x+1）或（y=-x²+4x+5）．

（2）S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×5=15．
設(shè)直線BC的關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），
把點(diǎn)B（5，0），C（0，5）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{b=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
則直線BC的解析式為：y=-x+5．
①當(dāng)P點(diǎn)在直線BC上方時(shí)如圖1所示：過P點(diǎn)作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交BC于E點(diǎn)．
則S_△BCP=S_△PEC+S_△PEB
=$\frac{1}{2}$PE•OB，
=$\frac{5}{2}$[-x²+4x+5-（-x+5）]，
=$\frac{5}{2}$（-x²+5x）．
又∵S_△BCP=S_△ABC，
∴$\frac{5}{2}$（-x²+5x）=15，
解得：x₁=2，x₂=3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，9）或（3，8）；
②同理，當(dāng)P點(diǎn)在BC下方時(shí)，S_△BCP=S_△PEC+S_△PEB
=$\frac{1}{2}$PE•OB，
=$\frac{5}{2}$（x²-4x-5-x+5），
=$\frac{5}{2}$（x²-5x）．
又∵S_△BCP=S_△ABC，
∴$\frac{5}{2}$（x²-5x）=15，
即：$\frac{5}{2}$（x²-5x）=15，
解得：x₁=1，x₂=6，
∴（6，-7）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，9）或（3，8）或（6，-7）．

（3）存在．理由如下：設(shè)M（a，-a+5）．
如圖2，當(dāng)OC為對(duì)角線時(shí)，CM∥ON，則直線ON的解析式為y=-x．
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+4x+5}\\{y=-x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5+\sqrt{5}}{2}}\\{y=-\frac{5+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5-\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{5}-5}{2}}\end{array}\right.$，
即N的坐標(biāo)是（$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，-$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}-5}{2}$）．
又∵CM=NO，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$）．
同理，當(dāng)OC為邊時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（$\frac{5+3\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5+3\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{3\sqrt{5}-5}{2}$，$\frac{10-3\sqrt{5}}{2}$）或（-$\frac{5+3\sqrt{5}}{2}$，$\frac{15+3\sqrt{5}}{2}$），
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{5+3\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5+3\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{3\sqrt{5}-5}{2}$，$\frac{10-3\sqrt{5}}{2}$）或（-$\frac{5+3\sqrt{5}}{2}$，$\frac{15+3\sqrt{5}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式的知識(shí)、一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)、三角形的面積公式以及平行四邊形的性質(zhì)．注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．