Question

12．在直角坐標系中，O為坐標原點，設點P（1，m）在函數$y=\frac{{\sqrt{3}}}{x}$的圖象上，以OP為邊作正方形OPQR，則OP=2；若反比例函數$y=\frac{k}{x}$經過點Q，則k=2或-2．

Answer 1

分析 把P（1，m）代入$y=\frac{{\sqrt{3}}}{x}$即可求得m的值，然后根據勾股定理求得OP的長，作PM⊥x軸于M，QN⊥PM于N，通過證得△POM≌△QPN，得出PN=OM=1，NQ=PM=$\sqrt{3}$，從而求得Q的坐標，把Q點的坐標代入$y=\frac{k}{x}$即可求得k的值．

解答 解：∵點P（1，m）在函數$y=\frac{{\sqrt{3}}}{x}$的圖象上，
∴m=$\sqrt{3}$，
∴P（1，$\sqrt{3}$），
∴OP=$\sqrt{{1}^{2}+（{\sqrt{3}）}^{2}}$=2，
如圖，作PM⊥x軸于M，QN⊥PM于N，
∵OM=1，PM=$\sqrt{3}$，
∴tan∠POM=$\frac{PM}{OM}$=$\sqrt{3}$，
∴∠POM=60°，
∴∠OPM=30°
∴∠QPN=90°-30°=60°，
∴∠POM=∠QPN，
在△POM和△QPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠POM=∠QPN}\\{∠PMO=∠QNP=90°}\\{OP=PQ}\end{array}\right.$
∴△POM≌△QPN，
∴PN=OM=1，NQ=PM=$\sqrt{3}$，
∴Q₁（1+$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$-1），
同理證得Q₂（1-$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$），
∴k=（1+$\sqrt{3}$）×（$\sqrt{3}$-1）=2，或k=（1+$\sqrt{3}$）（1-$\sqrt{3}$）=-2，
故答案為2，2或-2．

點評 本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，勾股定理的應用，求得Q點的坐標是解題的關鍵．