Question

9．如圖，△ABD與△ACE中，AB=AC，∠ACE+∠ABD=180°，BD=CE，BC延長(zhǎng)線交ED于F．
（1）求證：∠DBF=∠ECF；
（2）圖中是否存在與DF相等的線段？若存在，請(qǐng)找出，并加以證明；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠ACE+∠ABC+∠DBF=180°和∠ACB+∠ACE+∠ECF=180°結(jié)合AB=AC即可證明．
（2）結(jié)論：DF=EF，如圖延長(zhǎng)CF使得CM=BF，由△DBF≌△ECM，得DF=ME，∠DFB=∠M由此即可證明．

解答 （1）證明：∵∠ACE+∠ABD=180°，∠ABD=∠ABC+∠DBF，
∴∠ACE+∠ABC+∠DBF=180°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB+∠ACE+∠ECF=180°，
∴∠DBF=∠ECF．
（2）結(jié)論：DF=EF．
理由：如圖延長(zhǎng)CF使得CM=BF，
在△DBF和△ECM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠DBF=∠ECM}\\{BF=CM}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△ECM，
∴DF=ME，∠DFB=∠M，
∵∠DFB=∠MFE，
∴∠M=∠MFE，
∴ME=EF，
∴DF=EF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、等角的補(bǔ)角相等，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．