Question

如圖：等邊△ABC的邊長為1，P為AB邊上的一個動點（不包括A、B），過P作PQ⊥BC于Q，過Q作QR⊥AC于R，再過R作RS⊥AB于S．設(shè)AP=x，AS=y．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量取值范圍；
（2）①若S、P重合點為T，求此時x的取值；
②若S在BP上，求x的取值范圍；
③若S在AP上，求x的取值范圍．
（3）若S、P重合點為T，試說明當(dāng)S在BP上時，P、S中的哪一個更接近T點．

Answer 1

考點：等邊三角形的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：動點型

分析：（1）設(shè)AP=x，根據(jù)題意得：BP=1-x，由△ABC為等邊三角形，PQ⊥BC于Q，QR⊥AC于R，RS⊥AB于S．得出∠BPQ=∠CQR=∠ARS=30°，得出線段之間的關(guān)系，列出y，x的關(guān)系式．
（2）當(dāng)S與P重合為T時，則y=x，得到x的值，當(dāng)S在BP上時，則y＞x，得到0＜x＜

1

3

，當(dāng)S在AP上時，則y＜x，得到

1

3

＜x＜1，
（3）當(dāng)S在BP上時，列出TP及ST的式子比較大小即可．

解答：解：（1）設(shè)AP=x，根據(jù)題意得：BP=1-x，
∵△ABC為等邊三角形，PQ⊥BC于Q，QR⊥AC于R，RS⊥AB于S．
∴∠BPQ=∠CQR=∠ARS=30°，
∴BQ=

1

2

BP=

1-x

2

，QC=1-BQ=

1+x

2

，CR=

1

2

QC=

1+x

4

，AR=1-CR=

3-x

4

，
∵AS=y，
∴y=

1

2

×

3-x

4

=

3-x

8

，其中：0＜x＜1．
（2）當(dāng)S與P重合為T時，則y=x，得到x=

1

3

，
當(dāng)S在BP上時，則y＞x，得到0＜x＜

1

3

，
當(dāng)S在AP上時，則y＜x，得到

1

3

＜x＜1，
（3）當(dāng)S在BP上時，TP=

1

3

-x，ST=y-

1

3

=

1

8

（

1

3

-x），當(dāng)0＜x≤

1

3

時，顯然ST＜TP，所以S更接近T點．

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及含30度角的直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)含30度角的直角三角形找出線段之間的關(guān)系．