Question

如圖，點(diǎn)P在第一象限，△ABP是邊長為2的等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)A在x軸的正半軸上運(yùn)動時，點(diǎn)B隨之在y軸的正半軸上運(yùn)動，運(yùn)動過程中，點(diǎn)P到原點(diǎn)的最大距離是

 

；
若將△ABP的PA邊長改為2

2

，另兩邊長度不變，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的最大距離變?yōu)?!--BA-->

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)當(dāng)O到AB的距離最大時，OP的值最大，得到O到AB的最大值是

1

2

AB=1，此時在斜邊的中點(diǎn)M上，由勾股定理求出PM，即可求出答案；將△ABP的PA邊長改為2

2

，另兩邊長度不變，根據(jù)2²+2²=(2

2

)2，得到∠PBA=90°，由勾股定理求出PM即可

解答：解：取AB的中點(diǎn)M，連OM，PM，
在Rt△ABO中，OM=

AB

2

=1，在等邊三角形ABP中，PM=

3

，
無論△ABP如何運(yùn)動，OM和PM的大小不變，當(dāng)OM，PM在一直線上時，P距O最遠(yuǎn)，
∵O到AB的最大值是

1

2

AB=1，
此時在斜邊的中點(diǎn)M上，
由勾股定理得：PM=

22-12

=

3

，
∴OP=1+

3

，
將△AOP的PA邊長改為2

2

，另兩邊長度不變，
∵2²+2²=(2

2

)2，
∴∠PBA=90°，由勾股定理得：PM=

12+22

=

5

，
∴此時OP=OM+PM=1+

5

．
故答案為：1+

3

，1+

5

．

點(diǎn)評：本題主要考查對直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理的逆定理等邊三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)理解題意求出PD的值是解此題的關(guān)鍵．