Question

6．如圖，已知拋物線y=ax²+bx-5（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）及點(diǎn)B，對(duì)稱軸為直線x=3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸垂線，交拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)最大？這個(gè)最大值是多少？
（3）若拋物線的頂點(diǎn)為M，求△BCM的面積S值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意將（1，0），x=3代入函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案；
（2）首先求出直線BC的解析，進(jìn)而表示出P，Q點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用二次函數(shù)最值求法答案；
（3）根據(jù)題意利用△BCM的面積S=S_△BMN+S_△CMN，進(jìn)而求出答案．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-5（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）及點(diǎn)B，對(duì)稱軸為直線x=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b-5=0}\\{-\frac{2a}=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$．
故拋物線的解析式為：y=-x²+6x-5；

（2）如圖所示：當(dāng)x=0可得，y=-5，則C（0，-5），
當(dāng)y=0，則0=-x²+6x-5，
解得：x₁=1，x₂=5，
故B（5，0），
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+c，
則$\left\{\begin{array}{l}{5k+c=0}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
故直線BC的解析式為：y=x-5，
設(shè)P（x，x-5），Q（x，-x²+6x-5），
故PQ=-x²+6x-5-（x-5）
=-x²+5x
=-（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
當(dāng)x=$\frac{5}{2}$，x-5=-$\frac{5}{2}$，
即當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{2}$）時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)最大，這個(gè)最大值是$\frac{25}{4}$；

（3）如圖所示：當(dāng)M點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，則x=3時(shí)，y=-x²+6x-5=-9+18-5=4，
即M（3，4），
當(dāng)x=3，則x-5=-2，
即N（3，-2），
故MN=4-（-2）=6，
故△BCM的面積S=S_△BMN+S_△CMN=$\frac{1}{2}$MN•（5-3）+$\frac{1}{2}$×MN×3=$\frac{1}{2}$MN×5=15．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及二次函數(shù)最值求法和圖形面積求法等知識(shí)，正確表示出Q，P點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．