Question

正方形ABCD在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，A在x軸正半軸上，D在y軸的負(fù)半軸上，AB交y軸正半軸于E，BC交x軸負(fù)半軸于F，OE=1，OD=4，拋物線y=ax²+bx-4過A、D、F三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）Q是拋物線上D、F間的一點(diǎn)，過Q點(diǎn)作平行于x軸的直線交邊AD于M，交BC所在直線于N，若S_{四邊形AFQM}=

3

2

S_△FQN，則判斷四邊形AFQM的形狀；
（3）在射線DB上是否存在動(dòng)點(diǎn)P，在射線CB上是否存在動(dòng)點(diǎn)H，使得AP⊥PH且AP=PH？若存在，請(qǐng)給予嚴(yán)格證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形△OEA∽△ADO，D（0，-4），E（0，1）可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)Rt△ADE≌Rt△ABF可求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，把A，F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式即可取出未知數(shù)的值，進(jìn)而求出其解析式；
（2）根據(jù)“過Q點(diǎn)作平行于x軸的直線交邊AD于M，交BC所在直線于N”，又知AM∥CB，可以判斷，四邊形AMNF為平行四邊形，可得NM=AF=5，設(shè)QM=m，可用m表示出QN的長(zhǎng)，利用S_{四邊形AFQM}=

3

2

S_△FQN，可以求出m的值；可知若Q（a，b）則必有M（a+1，b），代入二次函數(shù)解析式，可求得M的坐標(biāo)，依據(jù)坐標(biāo)特點(diǎn)可判斷四邊形的形狀；
（3）先根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)圖形可看出，有三種情況符合題目條件：
①通過證明Rt△PQH≌Rt△ANP得到∠APN+∠HPQ=90°，進(jìn)一步得到AP⊥PH，
②通過證明Rt△PMH≌Rt△PAN和PN∥BH得到∠HPA=∠NPA+∠HPN=∠MHP+∠HPM=90°，
③通過證明Rt△PNH≌Rt△PMA和PN∥AB，得到∠HPA=90°．

解答：解：（1）依條件有D（0，-4），E（0，1）．
∵∠EAO+∠OAD=90°，
∠ADO+∠OAD=90°，
∴∠EAO=∠ADO，
又∵∠AOE=∠AOD=90°，
∴△OEA∽△ADO知OA²=OE•OD=4．
∴A（2，0）由Rt△ADE≌Rt△ABF得DE=AF．
∴F（-3，0）．
將A，F(xiàn)的坐標(biāo)代入拋物線方程，
得

4a+2b-4=0 9a-3b-4=0

∴a=b=

2

3

．
∴拋物線的解析式為y=

2

3

x²+

2

3

x-4；

（2）設(shè)QM=m，
S_{四邊形AFQM}=

1

2

（m+5）•|y_Q|，S_△FQN=

1

2

（5-m）•|y_Q|．
∴（m+5）•|y_Q|=

3

2

（5-m）•|y_Q|
∴m=1
設(shè)Q（a，b），則M（a+1，b），
∴

b= 2 3 a2+ 2 3 a-4 b=2(a+1)-4

∴a²-2a-3=0，
∴a=-1（舍去a=3），b=-4，
此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，-4）與點(diǎn)D重合，QF=AM，AF＞QM，AF∥QM，
則AFQM為等腰梯形；

（3）在射線DB上存在一點(diǎn)P，在射線CB上存在一點(diǎn)H．
使得AP⊥PH，且AP=PH成立，證明如下：
當(dāng)點(diǎn)P如圖①所示位置時(shí)，不妨設(shè)PA=PH，過點(diǎn)P作PQ⊥BC，PM⊥CD，PN⊥AD，垂足分別為Q、M、N．
若PA=PH．由PM=PN得：
AN=PQ，
∴Rt△PQH≌Rt△ANP
∴∠HPQ=∠PAN．
又∵∠PAN+∠APN=90°
∴∠APN+∠HPQ=90°
∴AP⊥PH．
當(dāng)點(diǎn)P在如圖②所示位置時(shí)，
過點(diǎn)P作PM⊥BC，PN⊥AB，
垂足分別為M，N．
同理可證Rt△PMH≌Rt△PAN．
∠MHP=∠NAP．
又∠MHP=∠HPN，
∠HPA=∠NPA+∠HPN=∠MHP+∠HPM=90°，
∴PH⊥PA．（1分）
當(dāng)P在如圖③所示位置時(shí)，過點(diǎn)P作PN⊥BH，垂足為N，PM⊥AB延長(zhǎng)線，垂足為M．
同理可證Rt△PNH≌Rt△PMA．
∴PH⊥PA．
注意：分三種情況討論，作圖正確并給出一種情況證明正確的，同理可證出其他兩種情況的給予（4分）；
若只給出一種正確證明，其他兩種情況未作出說明，可給（2分）；
若用四點(diǎn)共圓知識(shí)證明且證明過程正確的也沒有討論三種情況的．只給（2分）．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道綜合題，考查了以下內(nèi)容：
（1）知識(shí)：用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、根據(jù)二次函數(shù)的坐標(biāo)特點(diǎn)判斷四邊形的形狀、存在性動(dòng)點(diǎn)問題；
（2）技能：對(duì)開放型問題進(jìn)行探索的能力和清晰的邏輯思維能力以及強(qiáng)大的計(jì)算能力．