Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，CE是角平分線，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，
求證：AE=BG．

Answer 1

分析：作EH⊥BC于H，根據(jù)角平分線定理得到EA=EH，利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可推出∠AEC=∠B+∠ECB=∠DAC+∠ECA=∠AFE，則AE=AF，
得到EG=AF，利用FG∥BC得到∠AGF=∠B，然后根據(jù)“AAS”可證得△AFG≌△EHB，再利用等量代換即可得到AG=EB．

解答：解：作EH⊥BC于H，如圖，
∵E是角平分線上的點，EH⊥BC，EA⊥CA，
∴EA=EH，
∵AD為△ABC的高，EC平分∠ACD，
∴∠ADC=90°，∠ACE=∠ECB，
∴∠B=∠DAC，
∵∠AEC=∠B+∠ECB，
∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE，
∴AE=AF，
∴EG=AF，
∵FG∥BC，
∴∠AGF=∠B，
∵在△AFG和△EHB中，

∠GAF=∠BEH ∠AGF=∠B AF=EH

，
∴△AFG≌△EHB（AAS）
∴AG=EB，
即AE+EG=BG+GE，
∴AE=BG．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．也考查了角平分線定理．