Question

10．小紅和小明在研究一個數(shù)學(xué)問題：已知AB∥CD，AB和CD都不經(jīng)過點E，探索∠E與∠A，∠C的數(shù)量關(guān)系．
（一）發(fā)現(xiàn)：在圖1中，小紅和小明都發(fā)現(xiàn)：∠AEC=∠A+∠C；
小紅是這樣證明的：如圖7過點E作EQ∥AB．
∴∠AEQ=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
∵EQ∥AB，AB∥CD．
∴EQ∥CD（平行于同一直線的兩直線平行）
∴∠CEQ=∠C 
∴∠AEQ+∠CEQ=∠A+∠C  即∠AEC=∠A+∠C．
小明是這樣證明的：如圖7過點E作EQ∥AB∥CD．
∴∠AEQ=∠A，∠CEQ=∠C
∴∠AEQ+∠CEQ=∠A+∠C即∠AEC=∠A+∠C
請在上面證明過程的橫線上，填寫依據(jù)：兩人的證明過程中，完全正確的是小紅的證法．
（二）嘗試：
（1）在圖2中，若∠A=110°，∠C=130°，則∠E的度數(shù)為120°；
（2）在圖3中，若∠A=20°，∠C=50°，則∠E的度數(shù)為30°．
（三）探索：
裝置圖4中，探索∠E與∠A，∠C的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（四）猜想：
（1）如圖5，∠B、∠D、∠E、∠F、∠G之間有什么關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）
（2）如圖6，你可以得到什么結(jié)論？（直接寫出結(jié)論）

Answer 1

分析 （一）小紅、小明的做法，都是做了平行線，利用平行線的性質(zhì)；（二）的（1）、（四）都可仿照（一），通過添加平行線把分散的角集中起來．

解答 解：（一）∵小明的輔助線做不出來，所以兩人的證明過程中，小紅的完全正確；答案：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行于同一直線的兩直線平行；小紅的證法．
（二）（1）過點E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．∵EF∥AB，
∴∠A+∠AEF=180°，
∵∠A=110°，∴∠AEF=70°．
∵EF∥CD，
∴∠C+∠CEF=180°，
∵∠C=130°，∴∠CEF=50°．
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=70°．+50°=120°．
（2）∵AB∥CD，
∴∠EOB=∠C=50°
∵∠EOB=∠A+∠E，
∵∠E=∠EOB-∠A=50°-20°=30°．
答案：120°，30°．
（三）∠E=∠A-∠C．
理由：延長EA，交CD于點F．
∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠EAB
∵∠EFD=∠C+∠E
∴∠EAB=∠C+∠E
∴∠E=∠EAB-∠C．
（四）（1）可通過過點E、F、G分別做AB的平行線，得到結(jié)論．
∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．
（2）同上道理一樣，可得到結(jié)論：∠E₁+∠E₂+…+∠E_n=∠F₁+∠F₂+…∠F_n-1+∠B+∠D．

點評 本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形的外角與內(nèi)角關(guān)系及角的和差．添加平行線把分散的角集中起來，是解決問題的關(guān)鍵．