(2006•濰坊)已知二次函數(shù)圖象的頂點在原點O,對稱軸為y軸.一次函數(shù)y=kx+1的圖象與二次函數(shù)的圖象交于A,B兩點(A在B的左側(cè)),且A點坐標(biāo)為(-4,4).平行于x軸的直線l過(0,-1)點.
(1)求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式;
(2)判斷以線段AB為直徑的圓與直線l的位置關(guān)系,并給出證明;
(3)把二次函數(shù)的圖象向右平移2個單位,再向下平移t個單位(t>0),二次函數(shù)的圖象與x軸交于M,N兩點,一次函數(shù)圖象交y軸于F點.當(dāng)t為何值時,過F,M,N三點的圓的面積最小,最小面積是多少?

【答案】分析:(1)已知了一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A點,可將A點的坐標(biāo)代入一次函數(shù)中,即可求出一次函數(shù)的解析式.
由于拋物線的頂點為原點,因此可設(shè)其解析式為y=ax2,直接將A點的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出拋物線的解析式.
(2)求直線與圓的位置關(guān)系需知道圓心到直線的距離和圓的半徑長.由于直線l平行于x軸,因此圓心到直線l的距離為1.因此只需求出圓的半徑,也就是求AB的長,根據(jù)(1)中兩函數(shù)的解析式即可求出B點的坐標(biāo),根據(jù)A、B兩點的坐標(biāo)即可求出AB的長.然后判定圓的半徑與1的大小關(guān)系即可.
(3)先設(shè)出平移后拋物線的解析式,不難得出平移后拋物線的對稱軸為x=2.因此過F,M,N三點的圓的圓心必在直線x=2上,要使圓的面積最小,那么圓心到F點的距離也要最小(設(shè)圓心為C),即F,C兩點的縱坐標(biāo)相同,因此圓的半徑就是2.C點的坐標(biāo)為(2,1)(可根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出F點的坐標(biāo)).可設(shè)出平移后的拋物線的解析式,表示出MN的長,如果設(shè)對稱軸與x軸的交點為E,那么可表示出ME的長,然后在直角三角形MEC中根據(jù)勾股定理即可確定平移的距離.即t的值.(也可根據(jù)C點的坐標(biāo)求出M,N點的坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法求出平移后的拋物線的解析式,經(jīng)過比較即可得出平移的距離,即t的值).
解答:解:(1)把A(-4,4)代入y=kx+1
得k=-
∴一次函數(shù)的解析式為y=-x+1;
∵二次函數(shù)圖象的頂點在原點,對稱軸為y軸,
∴設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2,
把A(-4,4)代入y=ax2
得a=,
∴二次函數(shù)解析式為y=x2

(2)由
解得,
,
過A,B點分別作直線l的垂線,垂足為A',B',
則AA′=4+1=5,BB′=+1=
∴直角梯形AA'B'B的中位線長為,
過B作BH垂直于直線AA'于點H,
則BH=A'B'=5,,

∴AB的長等于AB中點到直線l的距離的2倍,
∴以AB為直徑的圓與直線l相切.

(3)平移后二次函數(shù)解析式為y=(x-2)2-t,
令y=0,得(x-2)2-t=0,x1=2-2,x2=2+2
∵過F,M,N三點的圓的圓心一定在平移后拋物線的對稱軸上,點C為定點,B要使圓面積最小,圓半徑應(yīng)等于點F到直線x=2的距離,
此時,半徑為2,面積為4π,
設(shè)圓心為C,MN中點為E,連CE,CM,則CE=1,
在△CEM中,ME=
∴MN=2,而MN=|x2-x1|=4,
∴t=
∴當(dāng)t=時,過F,M,N三點的圓面積最小,最小面積為4π.
點評:本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的平移等知識點,綜合性強考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
練習(xí)冊系列答案
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B.
C.
D.

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A.
B.
C.
D.

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(1)當(dāng)F為BC的中點時,求證:△EFC與△ABF的面積相等;
(2)當(dāng)F為BC上任意一點時,△EFC與△ABF的面積還相等嗎?說明理由.

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