Question

5．如圖，直線l的解析式為y=$-\frac{4}{3}$x+b，它與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，其中B坐標(biāo)為（0，4）．
（1）求出A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn) P在y軸上，且到直線l的距離為3，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在第一象限的角平分線上是否存在點(diǎn)Q使得∠QBA=90°？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（4）動點(diǎn)C從y軸上的點(diǎn)（0，10）出發(fā)，以每秒1cm的速度向負(fù)半軸運(yùn)動，求出點(diǎn)C運(yùn)動所有的時(shí)間t，使得△ABC為軸對稱圖形．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)B代入直線，求出直線解析式，然后求直線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)到直線距離，可以做點(diǎn)到直線的垂線，構(gòu)造直角三角形，利用三角形相似就出對應(yīng)線段長度，繼而求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)Q在第一象限角平分線上，設(shè)Q（x，x），已知給出了指定角，利用勾股定理列方程，即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（4）題目求△ABC為軸對稱圖形，實(shí)質(zhì)是求動點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)分類討論即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)求出運(yùn)動時(shí)間．

解答 解：（1）將點(diǎn)B（0，4）代入直線l的解析式得：
b=4，
∴直線l的解析式為：y=$-\frac{4}{3}$x+4，
令y=0得：x=3，
∴A（3，0）．

（2）如圖，過點(diǎn)P做直線AB的垂線，垂足為D，
∵OB=4，OA=3，
∴AB=5，
∵∠B是公共角，∠BDP=∠BOD，
∴△BOA∽△BDP，
∴$\frac{OA}{PD}$=$\frac{AB}{BP}$，
∴$\frac{3}{3}$=$\frac{5}{BP}$，
∴BP=5，
4+5=9，4-5=-1，
∴P（0，9）或（0，-1）．


（3）存在．
∵Q在第一象限的角平分線上，
設(shè)Q（x，x），
根據(jù)勾股定理：
QB²+BD²=QD²，
x²+（x-4）²+5²=x²+（x-3）²，
解得x=16，
故Q（16，16）．

（4）能使△ABC為軸對稱圖形，
則得：△ABC為等腰三角形，
當(dāng)AB=BC時(shí)，
C（0，9）或（0，-1），
此時(shí)C點(diǎn)運(yùn)動1秒或11秒，
當(dāng)AB=AC時(shí)，
C（0，-4），
此時(shí)C點(diǎn)運(yùn)動14秒，
當(dāng)AC=BC時(shí)，
C（0，$\frac{7}{8}$），
此時(shí)C點(diǎn)運(yùn)動$\frac{73}{8}$秒．
綜上所述：當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動1秒、$\frac{73}{8}$秒、11秒、14秒時(shí)，能使△ABC為軸對稱圖形．

點(diǎn)評 題目考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用、點(diǎn)的坐標(biāo)、相似三角形判定及性質(zhì)、勾股定理等知識，通過直線的基本性質(zhì)及三角形的基本性質(zhì)，找出相應(yīng)的等量關(guān)系即可，題目考查靈活多變，對學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題有大的鍛煉價(jià)值．