Question

20．如圖，在△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，且CD=CB，以BC為直徑作⊙O，交BD于點(diǎn)E，連接CE，過D作DF⊥AB于點(diǎn)F，∠BCD=2∠ABD．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若∠A=60°，DF=$\sqrt{3}$，求⊙O的直徑BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由CD=CB，∠BCD=2∠ABD，可證得∠BCE=∠ABD，繼而求得∠ABC=90°，則可證得AB是⊙O的切線；
（2）由∠A=60°，DF=$\sqrt{3}$，可求得AF、BF的長(zhǎng)，易證得△ADF∽△ACB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案．

解答 （1）證明：∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠CEB=90°，
∴∠CBD+∠BCE=∠CDB+∠DCE，
∴∠BCE=∠DCE，
即∠BCD=2∠BCE，
∵∠BCD=2∠ABD，
∴∠ABD=∠BCE，
∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°，
∴CB⊥AB，
∵CB為直徑，
∴AB是⊙O的切線；

（2）∵∠A=60°，DF=$\sqrt{3}$，
∴在Rt△AFD中，AF=$\frac{DF}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=1，AD=2
∵DF⊥AB，CB⊥AB，
∴DF∥BC，
∴∠ADF=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴△ADF∽△ACB，
∴$\frac{DF}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，
設(shè)BC=x，則$\frac{\sqrt{3}}{x}$=$\frac{2}{x+2}$，解得x=4$\sqrt{3}$+6．
∴BC=4$\sqrt{3}$+6．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△ADF∽△ACB是解此題的關(guān)鍵．