Question

17．已知：線(xiàn)段AB．
（1）尺規(guī)作圖：作線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)l，與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)D；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，點(diǎn)C為l上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)D重合），連接CB，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E．
①當(dāng)垂足E在線(xiàn)段BC上時(shí)，直接寫(xiě)出∠ABC度數(shù)的取值范圍．
②請(qǐng)你畫(huà)出一個(gè)垂足E在線(xiàn)段BC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)的圖形，并求證∠BAE=∠BCD．

Answer 1

分析 （1）利用作已知線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的法作圖即可；
（2）①根據(jù)銳角三角形的高在三角形內(nèi)即可解決．
②利用等角的余角相等證明．

解答 解：（1）直線(xiàn)l即為所求作的直線(xiàn)．（見(jiàn)圖1）

（2）①45°≤∠ABC＜90°．
理由如下：連接AC，
當(dāng)∠ACB≤90°時(shí)垂足E在線(xiàn)段BC上，
∵CD垂直平分AB，
∴CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA，
∵2∠CBA+∠ACB=180°，
∴2∠CBA≥90°
∴∠CBA≥45°
∵∠CBA是銳角，
∴45°≤∠CBA＜90°
②在圖2中，


證明：∵線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)為l，
∴CD⊥AB，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=∠BDC=90°，
∴∠BAE+∠B=∠BCD+∠B=90°，
∴∠BAE=∠BCD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查垂直平分線(xiàn)的作法、三角形的高、都等角的余角相等等知識(shí)，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．